小结公开课教案（教学设计）

《平面向量章节复习课》教学设计

授课教师：广州市第五中学 刘玫

【教学目标】

1、知识与技能目标：

（1）培养学生的归纳总结、知识建构与内化的能力，强化学生对向量的平行、垂直、长度、角度等问题的处理能力，进一步增强学生提取知识的能力．

（2）通过例题与练习让学生体会向量的数与形的双重特征，体会如何简化向量的运算．

2、过程与方法目标：

通过知识的回顾、归纳和整理培养学生建构知识网络，内化知识系统的能力），通过练习点评与例题讲解渗透数形结合、转化与化归等思想方法，体会向量是连结数与形的桥梁和工具．

3、情感与态度目标：

在练习中尽量让学生自己动手，培养学生大胆尝试，善于总结、建构、内化的学习品质．

【教学重点】

培养学生的归纳总结、知识建构与内化的能力，体会向量的数与形的双重特征．

【教学难点】本章节知识的网络构建．

【教学方法】“学案导学法”

【教学手段】多媒体辅助教学

【教学过程】

一、复习回顾：

知识网络：

向量的基本概念

几何意义

加法和减法

运算律



线性运算



几何意义

运算律向量的数乘

平面向量

向量共线的条件平面向量基本定理

物理背景及几何意义

向量的数量积运算律应用

向量在几何中的作用向量的应用

向量在物理中的作用知识整理：

一、向量的基本概念：

⑴

零向量：

的向量叫零向量。

⑵

单位向量：

的向量叫单位向量。

⑶

相等向量：

的向量叫相等向量。

相反向量：

的向量叫相反向量。

⑷

平行向量（共线向量）：方向

的非零向量叫平行向量。

1

规定：

与任一向量平行。

⑸

常用结论：与向量AB共线的单位向量是

二、向量的线性运算

1、向量加（减）法运算及其几何意义：

⑴向量加法的平行四边形法则（请用图示法表示）

b

a

⑵向量加（减）法的三角形法则

首尾相接的两向量相加，和向量是有第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

共起点的两向量相减，差向量是连接两向量的终点，方向指向被减数；

请用图示法表示上面两个运算：

b

b

a

a

2、向量的数乘

⑴

向量的数乘的运算率：（设，R）

(a)

；()a

；(ab)

。

⑵

共线向量定理：向量a与b(b0)共线，当且仅当有唯一一个实数,使

常见问题：如何用向量方法证明A,B,C三点共线？

A,B,C三点共线

；

P,A,B

三点共线OPxOAyOB(且xy1)

⑶

平面向量基本定理：如果e1与e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使

⑷

线性运算的坐标表示：

设a(x1,y1),b(x2,y2)，

则ab

；ab

；

三、向量的数量积：

⑴

平面向量的数量积的定义：ab

⑵

平面向量的数量积的几何意义：

⑶

数量积的运算律：

a

；

ab

，（a＋b）c

，

2

对R,(ab)



⑷数量积的应用：（设a(x1,y1)，b(x2,y2)，设a,b为）

ab



a



，

cos



，

（设计意图：通过展示知识网络，帮助学生从整体上把握平面向量这一章的主线，建构与内化本章节的知识系统；同时通过填空题的形式让学生复习记忆本章节的重点知识、重点公式和一些常用结论，不仅可以让学生体会如何进行章节知识的建构，也为例题和练习的展开奠定了基础．）

题组训练：

题组一

1、下列命题正确的是（

）

A．若a//b,b//c,则a//c

的方向相同或相反

B．若a//b,则a与bC．若AB//CD,则直线AB//CD

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同。

2、对于向量a,b,c和实数,下列命题中真命题是（

）

＝0,则a＝0或b＝0

A．若ab＝0,则＝0或a＝0

B．若aC．若a＝b,则a＝b或a＝-b

22＝ac且a0,则b＝c

D．若ab题组二

1、若不共线的向量a,b满足a0,b0且abab，则向量a,b的关系是

2、若不共线的向量a,b满足ab0时,向量ab与ab的关系是

3、若向量a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角是

题组三

1、若D是ABC的边AB上的中点，则向量CD（

）

1111BA

B．BCBA

C．BCBA

D．BCBA

22222、在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面A．BC积之比是（

）

A．1123

B．

C．

D．

3234题组四

1、已知平面上三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的夹角均为1200，

（1）求ab

（2）求证：(ab)c

2、已知向量a(3,1),b(1,1),c(2,1)

（1）求a2b与c的夹角的余弦值

3

（2）若atb与c共线，求实数t．

（设计意图：通过四组基础题型的训练，再现了本章主干知识的典型应用，让学生再次感知了各个知识点的作用，为本节课在综合题中多角度地运用向量工具奠定了基础．）

[说明] 知识整理和题组训练这两部分由学生课前完成，教师在课堂上应注重强调学生易错、易混淆的知识点。而在点评题组训练时，应从解题规律、方法选择上来进行指导，渗透数形结合、转化与化归等思想方法。

二、提高训练：

例1、已知向量a(cosx,sinx),b(cos,sin),c(1,1)，其中x[,]．

3232x2x222（1）求证：(ab)(ab)；

（2）设函数f(x)(ac3)(bc3)，求f(x)的最大值和最小值．

22（设计意图：通过例1让学生体会在解决向量与三角函数综合题的过程中如何提取向量知识；通过对比让学生体会应先求基本量如ab、a、b等来简化运算，在例题讲解过程中注重引导学生从数和形的角度来运用向量工具，渗透数形结合、转化与化归等思想．）

例2、已知点F0,1，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ．求动点P的轨迹C的方程；

（设计意图：通过例2让学生体会向量是沟通数与形的桥梁，再次让学生体会在不同角度下如何拆除向量的外包装，渗透数形结合、转化与化归等思想．）

三、归纳小结：

本节课向同学们展示了对平面向量这个章节的知识如何进行知识网络的建构，从而强化对知识系统的内化。对于其他章节我们也可以仿照这一模式进行整理。同时由于向量具有数与形的双重特征，所以平时在解题时应从多角度去进行思考和对比，这样才有利于我们在考试中提取最有效、最快捷的方法去解决问题．

（设计意图：通过小结为学生的复习指明方向，并对数学的学习进行了指导．）

四、布置作业：

1、整理并完成例1和例2 y21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且

2、思考题、设F1、F2分别是双曲线x92PF1PF20，则PF1PF2等于（

）

A、10

B、210

C、5

D、25

（试试自己能用多少种方法解决这道题！）

3、练习册第61页

（设计意图：通过作业巩固当天所复习内容，让学生进一步体会向量的工具作用．）

4