探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计(第一课时)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（第2课时）

教学设计方案

授课教师—赣州市兴国县第三中学洪燕华

教材版本—北师大版

授课类型—新授课

一、

学情分析

高中生具有较强求知欲，抽象思维趋于成熟，类比思维能力较强，具有较强的独立思考、归纳概括等能力，能进行类比推理

。

二、

教材分析

这节课是北师大版数学必修4第一章第8节的内容，教学内容是函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（第2课时），本节课是在学生已经掌握了函数y＝sin x、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质的基础上进行学习的，三角函数是描述周期现象的重要模型，在数学和其他领域中具有重要的作用，“函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质”是三角函数的一个重要内容，有助于深化对三角函数的理解和认识。

三、

教学目标

1.知识与技能

结合练习掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质如周期性单调性最值及奇偶性。从而进一步理解参数A、ω、φ的意义。

2.过程与方法

学生自己通过习题进一步培养由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想。

3.情感态度与价值

通过本节的学习，让学生获得分析问题、解决问题的一般思路，同学对具体题目的思考和讨论，得到这类题的解决方法。

四、

教学重点难点

重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调性及奇偶性

五、

教学方法（学法）

引导探索法，讲练结合法

六、

教具准备

课件

y＝sin x的图像模型

七、

教学过程设计 教学环节1 教学过程通过填空的形式复习巩固知识，让学生对知识加深理解记忆。

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

定义域

值域

周期

奇偶性

(－∞，＋∞) [－A，A] 2πT＝

ω由角φ的值决定

π增区间：由2kπ－≤ωx＋φ≤2k2ππ＋(k∈Z)求得；减区间：由2k2单调性

π3π＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈22Z)求得

π由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解2得

对称中心

教学环节2 教学过程

对4个知识点通过例题剖析、归纳类题通法、活学活用讲透练会

【知识点1 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期】

【典例剖析】

求下列函数的周期

1π(1)y＝sin x；

23π(2)y＝3sin2x＋. 6对称轴

由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得中心横坐标

2π2π解 (1)T＝＝6. (2)T＝＝π. π23【类题通法】

求三角函数周期的方法．方法一：公式法，利用函数y＝Asin(ω2πx＋φ)＋b或函数y＝Acos(ωx＋φ)＋b的周期公式T＝来求；|ω|方法二：定义法：满足等式f(x＋T)＝f(x)的非零常数T为y＝f(x)的周期．

【知识点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性】

【典例剖析】

πx求函数y＝3sin(－)的单调增区间．

32πx解：y＝3sin－

32πxx2π＝3sinπ－－＝3sin(＋)，

2333πx2ππ由－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，

22327ππ得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z. 33πx∴y＝3sin－的单调递增区间为

327ππ4kπ－，4kπ－(k∈Z)．

33【类题通法】

求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调区间最基本的方法是“整体代换”．

ππ(1)ω>0时，解2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得单调递22π3π增区间，解2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得单调递减区间．

22【知识点3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值】

【典例剖析】

求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x的取值集合．

2π(1)y＝3sin(2x－)；

3π(2)y＝3－2sin(3x＋)．

62ππ解： (1)当2x－3＝2kπ＋2，k∈Z，

即x＝kπ＋7π12(k∈Z)时，ymax＝3，

x的取值集合为xx＝kπ＋7π12，k∈Z. 当2x－2π3＝2kπ－π2，k∈Z，

即x＝kπ＋π12(k∈Z)时，ymin＝－3，

x的取值集合为πxx＝kπ＋12，k∈Z. (2)当3x＋π3＝2kπ－π2(k∈Z)，

即x＝2kπ3－5π18(k∈Z)时，ymax＝5，

x的取值集合为2kπxx＝3－5π18，k∈Z. 当3x＋π3＝2kπ＋π2，k∈Z，

即x＝2kπ3＋π18，k∈Z时，ymin＝1，

x的取值集合为2kπxx＝3＋π18，k∈Z. 【类题通法】

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的值域为[－A，A]，分别

在ωx＋φ＝－ππ＋2kπ和ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z处取得最小值22－A和最大值A，其实质是将ωx＋φ看作一个整体z，将问题转化为函数y＝Asin z的最小值和最大值问题．

【活学活用】

πx已知函数f(x)＝2cos(－)，若x∈[－π，π]，求f(x)的最32大值、最小值．

πxxπ解：f(x)＝2cos(－)＝2cos(－)．

32235πxππ由－π≤x≤π，得－≤－≤. 62362π当－＝0，即x＝时，[f(x)]max＝2. 233xπxπ5π当－＝－，即x＝－π时，[f(x)]min＝－3. 236【知识点4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性】

【典例剖析】

设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，φ取何值时，f(x)是奇函数．

[尝试解答] 因为x∈R，要使f(x)为奇函数，

需f(0)＝0，

所以sinφ＝0，

所以φ＝kπ，k∈Z. 而当φ＝kπ时，

f(x)＝Asin(ωx＋kπ)＝

而f(x)＝Asinωx与f(x)＝－Asin ωx都是奇函数．

所以当φ＝kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数．

【类题通法】

f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性：

(1)φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数；

π(2)φ＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)为偶函数；

2(3)φ为象限角时，f(x)为非奇非偶函数．

【活学活用】

设函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，A>0，ω>0，φ为何值时，f(x)为偶函数？

解：由f(x)＝f(－x)得Acos(ωx＋φ)＝Acos(－ωx＋φ)．

根据余弦函数的特点，ωx＋φ＝ωx－φ＋2kπ，φ＝kπ，k∈Z.故φ＝kπ，k∈Z时，f(x)为偶函数．

教学环节3 课堂小结布置作业

八、

教学反思

本节课，我从学生上节课所学知识入手引入，让学生经历例题剖析-类题通法-活学活用的经典学习数学过程，加深对所学知识的理解，从而突破重难点。整节课是一个动脑巩固应用的动态生成过程，充分发挥了学生的主观能动性，学生真正成为了学习的主人。