探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期ppt配套的板书设计及意图

三角函数的图像及性质

教学内容概括

1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

二、教学目标分析

1、知识与技能：（

1）．能画出y=sin x, y=cos x的图像，了解三角函数的周期性；

（2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点及奇偶性等）；

（其中A0，0）（3）．函数yAsin(x)B图像性质及常见问题的处理方法

2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。

3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。

教

学

重

点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题

教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧

教

学

方

法：启发、引导、研讨相结合

教

学

手

段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率

教

学

课

时：一课时

三

导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为：

1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；

2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；

一、复习提问：

1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？

2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？

一、新课

要点精讲

1、图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1o3222523724x

y=cosx-4-72-5-32--2-32-2y1-1o2322523724x

2、三角函数的单调区间：

（其中A0，0）3、函数yAsin(x)B

最大值是

，最小值是

，周期是

，频率是

，相位是

，初相是

；其图象的对称轴是直线

，凡是该图象与直线

的交点都是该图象的对称中心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的向右(＜0＝平移1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

．．6．对称轴与对称中心：

ysinx的对称轴为xk，对称中心为(k,0) kZ；

2，ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k；

2,0)对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、再描点作图。

四．典例解析

π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，22

题型1：三角函数的图象

例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

2例2．（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）

解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。

点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

题型2：三角函数图象的变换

π1例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。

33π1解析：y=sin（2x+）

331π2倍

横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变另法答案：

ππ11（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

363311（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的33图象；

1（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到3y=sinx的图象。

例4．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）

A．（1－y）sinx+2y－3=0

B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0

D．－(y+1)sinx+2y+1=0 解析：将原方程整理为：y=2个单位，再沿y1，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单22cosx1位和1个单位，因此可得y=2cos(x)2点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。

例5．已知电流I与时间t的关系式为IAsin(t)。

（１）右图是IAsin(t)（ω＞0，||在一个周期内的图象，根据图中数据求

2）

I300IAsin(t)

的解析式；

1（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流150-1900o1180tIAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么ω的最-300小正整数值是多少？

解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

（１）由图可知

A＝300。

11，t2＝， 900180111则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。

180900752∴

ω＝＝150π。

T11又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，

180180设t1＝－而||2，

∴

＝。

6

故所求的解析式为I300sin(150t（２）依题意，周期T≤6)。

121，即≤，（ω>0）

150150*∴

ω≥300π＞942，又ω∈N，

故最小正整数ω＝943。

点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

例6．（1）（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=3与函数f（x）图象的7π－（－）=4π，

22图

1x∴ω=，∴y=2sin（+），又由图象可得相位移为－，222∴－12=－2，∴=4.即y=2sin（11x+）根据条件3=2sin（x），∴2424112x=2kπ+(k∈Z)或x=2kπ+π（k∈Z），

332424∴x=4kπ+6（k∈Z）或x=4kπ+5π（k∈Z）。

65,3）（k∈Z）。

6∴所有交点坐标为（4kπ+6,3）或（4kπ+点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

例7．求下列函数y=1π2xsin（－）的单调区间；

24312πsin（x－）再求之。

234分析：要将原函数化为y=－解：（1）y=故由2kπ－1π2x12xπsin（－）=－sin（－）。

243234π2xππ≤－≤2kπ+。

23423kπ－由2kπ+3π9π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；

88π2xπ3π≤－≤2kπ+。

2342

3kπ+9π21π≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。

883π9π，3kπ+］，

88递增区间为［3kπ+ ，3kπ+ ］（k∈Z）。

五 小结：

1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

作业：把自己的作业题签认真加以做好，补充所缺欠的知识点。

板书设计：

§课题

六、

一．正弦函数，余弦函数形式及图像；

二．典型例题及解题方法；

三．小结：解题方法归纳。

七、

总结与反思：反思学习过程，对研究正弦函数，余弦函数的图像，性质，进行概括，深化认识。三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数，对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系。

∴递减区间为［3kπ－