2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课时教案

平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

授课类型：新授课

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、回忆巩固：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

平面向量的坐标表示

思考：1.平面内建立了直角坐标系, 点A可以用什么来表示?学生回答：点可以用坐标表示

2.

平面向量是否也有类似的表示呢？

如图，光滑斜面上一个木块

受到重力G

的作用，产生两个效

果，一是木块受平行于斜面力F1

的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2,

GF1F2叫做把重力G分解. 

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量

a，均可以分解为不共线的两个向量e1和e2

，使ae1e2把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 课堂探究

思考：如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4), D(5,7).设

（1）

OAi,OBj

，填空：

y

7

D|i|_____,|j|______,|OC|______;（2）若用

B4Ci,j

来表示

OC,OD

，则：

joiAx

35OC________,OD_________.

（3）向量CD

能否由

i,j

表示出来？

i3j

yCA可以的话，如何表示？CD2aD如图，i,j

是分别与x轴、y轴方向相同

的单位向量，若以i,j为基底，则

joixB

，

对于该平面内的任一向量a

有且只有一对实数x、y，可使 axi +yj

这样，平面内的任一向量

a

都可

由x、y唯一确定，我们把有序数对

（x,y）叫做向量

a

的坐标，记作a(x,y)

①

其中，x叫做

a

在x轴上的坐标，y叫做a

在y轴上的坐标，

①式叫做向量的坐标表示. 



显然，i1,0,j0,1,00,0.

在直角坐标平面中，以原点O为起点作

OAa，则点

A的位置由向量a

唯一确定. 设OAxiyj

，则向量a的坐标（x,y）就是终点A的

坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个

有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i,j，

表示向量a,b,c,d，并求出

它们的坐标.

2．平面向量的坐标运算[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) ab

（3）若a(x. ,y)和实数，则a(x,y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a，即

(xiyj)xiyja(x,y)例2 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 小结：平面向量的坐标运算

1.aOAxiyj（x,y）

且aOAxy

22

(x(x2,y2)则

2. 若A1,y1)，BAB(x2x1,y2y1)|AB|(x2x1)(y2y1)22

例3 .已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例4. 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由AB得D1=(2，

2) DC当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0) 三、课堂训练

1.下列说法正确的有（

）个

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标

（2）位置不同的向量其坐标可能相同

（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

（4）相等的向量坐标一定相同

A．1

B．2

C．3

D．4

2. 已知A(1,5)和向量a(2,3)，若AB3a

，则点B的坐标为_________. 

3.已知：点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)若

何值时, （1）点P在一、三象限角平分线上? （2）点P在第三象限内? APABAC(R)

，试求λ为四、课堂小结：

教材课后练习

1.平面向量的坐标表示

2.平面向量的坐标运算

五、课后作业：