阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学实录与评析

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）OAOBOC0O是ABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03

OAOBOC0yyy(yy)(yy)(yy)023231y13O是ABC的重心. 证法2：如图

AOAOBOC

OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1 O是ABC的重心

BOEDC（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，

D、E是垂足. OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理OABC，OCAB

AEOO为ABC的垂心

BDC

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心. ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量，

cbABAC平分BAC, cbbcABAC)，令

AO(abccb证明：

AObcABAC（) abccb化简得(abc)OAbABcAC0

（4）OAOBOCO为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足aOAbOBcOC0

OPOA(ABAC)，0,

，则点P的轨迹一定通过ABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点. AABAC2AD

EOPOA2AD

OPOAAP

AP2AD

AP//AD

BDC点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABABACAC则点P的轨迹一定通过ABC的（

B

）

)，0,

，A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

分析：ABAC分别为AB、、AC方向上的单位向量，

ABACACAC平分BAC, ABAB点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABABcosBACACcosC)，0,

，则点P的轨迹一定通过ABC的

（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，

D、E是垂足. A(ABABcosBABBCABcosBACACcosCACBC)BC

E=

BDCACcosCACBCcosCACcosC

ABBCcosB=ABcosB=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.

练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（

）

A．2

B．3

C．3

D．6 22．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB(

) A．11

B．0

C．1

D．

223．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（

）

A．0

B．354

C．

D．

2434．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OABCOB

222CAOCAB，则O是ABC的（

）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

222ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，

OHm(OAOBOC)，

则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(

+

)·BC=0且

·

=

, 则2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为(

) A．三边均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则2ABC为（

）

A．等腰三角形

B．等腰直角三角形

C．直角三角形

D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C