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随机事件的概率

一、事件

1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．

2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．

3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．

二、概率和频率

1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件nAA出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝n为事件A出现的频率．

3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

三、事件的关系与运算

包含关系

文字表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

符号表示

B⊇A(或A⊆B) A＝B

相等关系

若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等

并事件(和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∪B(或A＋B) 交事件(积事件)

A∩B(或AB) 互斥事件

若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥

对立事件

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

1 A∩B＝∅

四、概率的几个基本性质

1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

2．必然事件的概率P(E)＝1. 3．不可能事件的概率P(F)＝0.

4．概率的加法公式：

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

5．对立事件的概率：

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

五、习题

1．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是(

) 1111A．P(M)＝3

P(N)＝2 B．P(M)＝2

P(N)＝2

1313C．P(M)＝3

P(N)＝4 D．P(M)＝2

P(N)＝4

解析：选D

由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、13(正、反)、(反、正)．故P(M)＝2，P(N)＝4. 2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(

) A．至少有一个红球与都是红球

B．至少有一个红球与都是白球

C．至少有一个红球与至少有一个白球

D．恰有一个红球与恰有二个红球

解析：选D

A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立．

mm3．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为n，当n很大时，P(A)与n的关系是(

) mmmA．P(A)≈n

B．P(A)＜n C．P(A)＞n

mD．P(A)＝n

解析：选A

事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值．

2

4．2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为0.41.战平的概率为0.27，那么中国选手不输的概率为________．

解析：中国选手不输的概率为0.41＋0.27＝0.68. 答案：0.68 5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．

解析：取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求概率P＝31＝. 155由题悟法：1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

2．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事件A的对立事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

六、高考题

[例1]

(2012·陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．

5＋201[自主解答]

(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为100＝4，用频率估计概1率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为4.

3

(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品7515是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为145＝29，用频15率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为29. 由题悟法：1．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似作为它m的概率是求一事件概率的基本方法．2．概率公式P＝n(n次试验中，事件A出现m次)．

[例2]

(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

一次购物量

顾客数(人)

结算时间

(分钟/人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．

[自主解答]

(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．

100(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为151.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝1003303251＝20，P(A2)＝100＝10，P(A3)＝100＝4.

4 1至4件

5至8件

9至12件

13至16件

17件及以上

x 1

30

1.5

25

2

y 2.5

10 3

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)3317＋P(A2)＋P(A3)＝20＋10＋4＝10. 7故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为10. 由题悟法

应用互斥事件的概率加法公式的关键是判断事件是互斥事件．

[例3]

一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，求：

(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．

[自主解答]

记事件A＝{任取1球为红球}，事件B＝{任取1球为黑球}，事件C541＝{任取1球为白球}，事件D＝{任取1球为绿球}，∴P(A)＝12，P(B)＝12＝3，P(C)211＝12＝6，P(D)＝12. 5193(1)取出的小球是红球或黑球的概率为P1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋3＝12＝4. (2)法一：取出的小球是红球或黑球或白球的概率为P2＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)51111＋P(C)＝12＋3＋6＝12. 法二：“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事111件，故所求概率为P2＝1－P(D)＝1－12＝12. 由题悟法

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；

(2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．

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