2.1.2 向量的几何表示教学实录与评析

2.1.2向量的概念及几何表示表示 【教学目标】

一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；

二、理解平面向量和向量相等的概念；

三、掌握向量的几何表示；

四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。

【重点难点】

重点：向量的概念和向量的几何表示；

难点：向量概念的理解

【教学过程】

一、设置情境

情景

在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？

合作探究

看下面哪些量是与众不同的：

（1）线段的长度

（2）物体的质量

（3）物体的体积

（4）物体所受重力

（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）

二、探索研究

问题一

情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？

1．向量的定义

既有大小又有方向的量叫向量。

师：你还能举出一些向量的例子吗？

师：在这一概念中你认为关键词有哪些？

板书

向量的二要素

大小和方向

师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？

2．向量的表示方法

①几何表示法——向量常用有向线段表示

师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以A为起点、B为终点的向量记为：

。大小记为：│

│

板书：

有向线段的三要素

起点、终点、长度。

②字母表示法：

可表示为

练习：

1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？

2．向量

和

同一个向量吗？为什么？

师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？

3．特殊的向量。

(1) 零向量

长度为零的向量，记为

(2) 单位向量

长度等于一个单位的向量

师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向的特殊的向量呢？

问题三

数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考虑向量中的类似问题？

4．向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的向量。若

与

平行，记作

//

规定：零向量与任一向量平行，即

//

师：你能画出一组平行向量吗？

师：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点

，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上。

师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量。

(2) 相等向量

大小相等方向相同的向量，记

=

（3）相反向量

与

大小相等方向相反的向量，记-

【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

（1）任一向量与它的相反向量不相等

（2）平行向量的方向一定相同

（3）不相等的向量一定不平行

（4）模相等的两个平行向量是相等的向量

【例2】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量FE、OA、OD、OC、CB中：

（1）

试找出与

OA 共线的向量

（2）

找出与

OA 相等的向量

（3）

OA 与

FE 相等吗？

【见仁见智】

本教案的设计思路大致可以概括为：

问题情境（提出问题）→学生活动（体验向量）→意义建构（探索研究向量）→数学理论（建立向量概念）→数学运用（辨别、解释、解决简单问题）→回顾反思（理解、联系、整合、拓广）。

在问题情境设置中，设计的问题贴近学生，通过问题来激发学生的认知兴趣，在问题中培养学生的比较、鉴别、归纳的思维能力；在探索研究概念中，精心设计问题串，脉络清楚，类比联想，建构数学知识，使得看起来一大堆零散的有关概念得以系统有序地认识；在巩固认识概念中，通过例题的讲解和变式练习达到对重点概念的重点掌握，注重概念的辨析，突出概念的本质特征。

在新课程的实验阶段，学生在课堂上“自主探索、合作交流”，师生对“教与学的方式的改变”必然会有一个适应的过程，要注意以下问题：一是组织学生开展的探索活动是必要的，但不必事事都探索；二是“教学方式的改变”并不意味着教师不能进行必要的讲授；三是起始课，给学生以数学的全貌，给学生以正确的数学观，如何让学生学会建构数学，数学如何建构，虽然这是高考不考的，但这是对学生受益终身的。学生探索空间的大小，取决于教师所设计“问题”的难易程度。这里要特别指出的是，必须给学生的探索活动以足够的“自由度”。如果教师在组织学生进行探索时自己暗暗地设定一个具体的“目标”，并要学生达到它，那么这样的“探索”活动就会妨碍学生“富有个性地学习”，甚至在实际上成为了另一种形式的“注入”。