探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优秀公开课教案

重庆市璧山中学校教学案

数学

主备人

人教版

章节

9、1.4.2正弦函数余弦函数的性质

课标解读及教学设计初稿

第一章

三角函数

1.4.2正弦函数余弦函数的性质

【教学目标】

1.理解掌握周期函数的定义及图象特征

2.理解掌握yAsin(

x),yAcos(

x)的周期公式：T【重点难点】

重点：周期函数的定义及周期公式

难点：周期函数的定义

【教学过程】

【自主学习】

问题1：观察正弦函数f(x)sinx的图象，思考以下问题：

y



6ysinx2462||年级

复备人

课题内容

高一

学科

教材版本

邓杰盛

数学必修4第一章

复备记录

42ox

①函数图象有什么特征?

图象每间隔2个单位重复出现

②函数的函数值是如何体现这个特征的? [ f(x2k)sin(2kx)sinxf(x) (kz)

]

当x的值增加或减少2的整数倍时，函数值重复出现

函数图象这种周期性重复出现的特征是函数的一个重要性质(函数周期性)的反映，如何用函数解析式来描述

函数图象这种周期性重复出现的特征呢？通过观察、思考、归纳得出：用函数解析式来描述函数周期性

1.函数的周期性：

①周期函数定义：

存在非零常数T，

f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，则称f(x)叫周期函数，T叫f(x)的周期

f(xa)f(xb)(ab)对定义域内的任意x恒成立，则f(x)周期为ab

实质：括号里差(xa)(xb)为常数

[ 差(xa)(xb)就是周期

] <1>周期函数的定义域至少有一边无界()

<2>最小正周期：所有周期中最小的正数

②周期函数的图象特征：图象每一个周期重复出现

(可根据图象求周期) 问题2：f(x)的周期为T，则f(3x2)的周期为T

3T3T3

设g(x)f(3x2)，f(x＋T)＝f(x)f(3x2T)f(3x2)f[3(x)2]f(3x2)g(x)g(x)

③函数f(x)的周期为T，则f(x)的周期为2.ysinx及ycosx的周期性：

ysinx及ycosx都是周期函数，周期为2k(kz,k0)，最小正周期为2

①周期函数不一定都有最小正周期

②yAsin(

x),yAcos(

x)(A0,0)的最小正周期公式：T3.函数周期的求法：

①根据周期公式及函数图象特征求(三角函数)

②根据周期函数定义求

两纵坐标相同的对称中心

③两条

垂直于x轴的对称轴

T

(只与x系数有关) 

2

||周期性

周期性



一对称中心一垂直于x轴的对称轴

周期性

【学法指导】

理解掌握周期函数的定义、图象特征及周期公式，认真自学，激情讨论，愉快收获

【自学自测】

( P36

1，2，3) 1.函数ycos(x)的最小正周期是( A ) 3252πA.5π

B.2π

C.π

D.

552.函数f(x)(xR)满足f(x1)=f(1x)，则函数f(x)图像关于直线

x=0

对称

3.函数f(x)(xR)既是偶函数，又是最小正周期为π的周期函数，当0x2时，f(x)＝sinx，则f(5)( D ) 31133A.－

B.

C.－

D.

2222

【合作探究】

例1、求周期：

①f(x)cos解①T

3x14的周期T=

②g(x)|sinx|的周期T=



③h(x)cos|x|的周期T=

2π

2324

②由g(x)|sinx|图象特征得T

③h(x)cos|x|cosx∴T2

3π3211例2、①已知f(x)满足f(x3)，f (1)=3，则f (2020)=



3f(x)②已知f(x)满足f(x2)解①f(x3)1f(x)，f (1)=2，则f (2019)=

-3

1f(x)11111∴f(x6)f(x)∴T6∴f(2020)f(33664)f(4)

1f(x)f(1)3f(x3)f(x)11f(x)1f(x2)1②f(x2)∴f(x4)1f(x)1f(x2)1111f(x)111f(x)∴f(x8)f(x)∴T8

1f(x)f(x4)f(x)f(x)f(x)∴f(2019)f(25283)f(3)1f(1)3

1f(1)例3、①已知f(x)(xR)图象关于点A(0

,

1)及B(2

,

1)对称，则f(x)的周期T= 4

②已知f(x)(xR)图象关于直线x1及x5对称，则f(x)的周期T= 8

③已知f(x)(xR)图象关于点A(1

,

-2)及直线x4对称，则f(x)的周期T= 12

解①设M(x

,

f(x))是f(x)图象上任意一点

M1(x,2f(x))∴M(x

,

f(x))关于点A(0

,

1)的对称点M1(x

,

2f(x))在f(x)图象上，

A(0,1)∴M1(x

,

2f(x))关于点B(2

,

1)的对称点M2(4x

,

f(x))在f(x)图象上

B(2,1)M(x,f(x))M2(4x,f(x))∴f(x)f(4x))∴T4

②设M(x

,

f(x))是f(x)图象上任意一点

∴M(x

,

f(x))关于直线x1的对称点M1(2x

,

f(x))在f(x)图象上，

M1(2x,f(x))∴M1(2x

,

f(x))关于直线x5的对称点M2(8x

,

f(x))在f(x)图象上

M2(8x,f(x))∴f(x)f(8x))∴T8

M(x,f(x))x5x1③设M(x

,

f(x))是f(x)图象上任意一点

∴M(x

,

f(x))关于点A(1

,

-2)的对称点M1(2x

,

4f(x))在f(x)图象上，

∴M1(2x

,

4f(x))关于直线x4的对称点M2(6x

,

4f(x))在f(x)图象上

M1(2x,4f(x))∴4f(x)f(6x))

M2(4x,f(x))A(1,2)∴f(x12)4f(x6)4[4f(x)]f(x)∴T12

M(x,f(x))x4【自主总结】

【当堂检测】

1.函数f(x)(xR)满足f(x)+f(x)2，则函数f(x)图像的对称中心为

(0 ，1)

2.下列函数中，不是周期函数的是( D ) A.y＝|cosx|

B.y＝cos|x|

C.y＝|sinx|

D.y＝sin|x| 315cosx

(x0)f(x)(xR))3.若函数最小正周期为π，且f(x)，则f(224sinx

(0x)2

2

【学习反思】

课时作业

作业：

P46

A组：1 ，3，10

B组：3

教学反思