2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课时教案

2．3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2．3.3

平面向量的坐标运算

明目标、知重点

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

1．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．

→(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y)；若A(x1，y1)，B(x2，→y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．

2．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

[情境导学]

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示．对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？

探究点一

平面向量的坐标表示

思考1

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答

互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．

思考2

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

答

a＝23i＋2j. 小结

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

→→思考3

在平面直角坐标系中，作向量OA＝a，若OA＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.

答

A(x，y)；

a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)．

探究点二

平面向量的坐标运算

思考1

设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

答

a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，

λa＝λx1i＋λy1j. 思考2

根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算．

答

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);

a－b＝(x1－x2，y1－y2);

λa＝(λx1，λy1)．

两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于

用这个实数乘原来向量的相应坐标．

→思考3

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？

→答

AB＝(x2－x1，y2－y1). 任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．

(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．

例1

已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．

解

a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，

a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3)，

3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16) ＝(－6,19).

反思与感悟

(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．

跟踪训练1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363例2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解

设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，

10＝－2x＋3y，∴

－4＝3x＋y，

解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 反思与感悟

待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用

方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．

跟踪训练2

已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a. 解

设a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．

则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2) ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．

10＝3λ－2μ，∴解得7μ＝－，－5＝2λ＋2μ，

λ＝1，2

7∴a＝b－c. 2→→→例3

已知A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，若CM＝2CA＋3CB，求点M的坐标．

解

由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得

→CA＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)，

→CB＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，

→→→∴CM＝2CA＋3CB＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)．

→设点M的坐标为(x，y)，则CM＝(x－3，y－4)．

x－3＝－14，由向量相等坐标相同可得

y－4＝－19，x＝－11，解得

y＝－15.

∴点M的坐标为(－11，－15)．

反思与感悟

向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．

跟踪训练3

已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

解

不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y)．则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．

→→(1)当平行四边形为ABCD时，AB＝DC，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，x＝0，∴

∴

∴D(0，－1)．

－2－y＝－1，y＝－1.

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)．

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(

) A．(－2,1)

B．(2，－1) C．(2,0)

D．(4,3) 答案

B 解析

b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B. 1→→→2．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是(

) 211－4，

B.4，－

A.22C．(－8,1)

D．(8,1) 答案

A →→→解析

∵AB＝OB－OA＝(－8,1)，

11→－4，. ∴AB＝22→→3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为(

) 712，

B.2，－

A.22C．(3,2)

D．(1,3) 答案

A →→解析

设D点坐标为(x，y)，则BC＝(4,3)，AD＝(x，y－2)，

x＝2，4＝2x，→→由BC＝2AD得∴73＝2y－2，y＝2，

7∴D(2，)．

24．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________. 答案

7 2m＋n＝9，m＝2，解析

由解得故m＋n＝7. －3m＋2n＝4，n＝5.

[呈重点、现规律]

1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．

一、基础过关

1．给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．

其中正确说法的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．

2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b等于(

) A．(5,7)

B．(5,9) C．(3,7)

D．(3,9) 答案

A 解析

2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(

) A．－2,1

B．1，－2 C．2，－1

D．－1,2 答案

D λ1＋2λ2＝3，λ1＝－1，解析

由

解得

2λ1＋3λ2＝4.λ2＝2.

→1→4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为(

) 233A．(－8,1)

B．(1，)

C．(－1，－)

D．(8，－1) 22答案

C

解析

设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝12×(－8,1)，

∴x＝－1，y＝－32. 5．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则1→1→2AC－4BC的坐标是________．

答案

(－3,6) 6．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC→＝2BD→，则x＋y＝________. 答案

112

解析

∵AC→＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，

BD→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

又2BD→＝AC→，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

∴2x－4＝－1，x＝，y－6＝2，

3

解得22y＝4，

∴x＋y＝112. 7．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p. 解

p＝2a＋3b＋c

＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．

设p＝xa＋yb，则有

2xx＝19－y＝2，7，x＋3y＝13，

解得y＝247.

∴p＝197a＋247b. 二、能力提升

8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→等于(

A．(－2，－4)

B．(－3，－5) C．(3,5)

D．(2,4) 答案

B 解析

∵AC→＝AB→＋AD→，∴AD→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，

∴BD→＝AD→－AB→＝(－3，－5)．

)

→→→→9．向量AB＝(7，－5)，将AB按向量a＝(3,6)平移后得向量A′B′，则A′B′的坐标形式为(

) A．(10,1)

B．(4，－11) C．(7，－5)

D．(3,6) 答案

C →→解析

A′B′与AB方向相同且长度相等，

→→故A′B′＝AB＝(7，－5)．

→10．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为(

) 3443，－

B.，－

A.55553443－，

D.－，

C.5555答案

A →→→解析

AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

4AB3→∴与AB同方向的单位向量为＝5，－5. →|AB|→→11.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，AD＝(3,7)，AB＝→(－2,1)．求OB的坐标．

→

→→→解

DB＝AB－AD＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，

5→1→1－，－3. ∴OB＝DB＝(－5，－6)＝222→→→12．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP＝AB＋λAC(λ∈R)．

(1)试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？

(2)试求λ为何值时，点P在第三象限内？

→→→解

∵AP＝AB＋λAC，

→→→→→→→→∴OP＝OA＋AP＝OA＋AB＋λAC＝OB＋λAC

＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．

11(1)由5＋5λ＝4＋7λ，解得λ＝，∴当λ＝时，点P在第一、三象限的角平分线上．

22

5＋5λ<0，(2)由解得44＋7λ<0，λ<－，

λ<－1，7

∴λ<－1. ∴当λ<－1时，点P在第三象限内．

三、探究与拓展

λ13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值．

μ

解

以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－1λ2且μ＝－，故＝4. 2μ