数轴表示根号13课时教学实录

小专题(三) 求二次函数解析式

类型1

已知二次函数解析式，确定各项的系数

如果二次函数解析式中只有1个字母，只需要找到函数图象上1个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有2个字母，则需要找到函数图象上2个点的坐标；如果二次函数解析式中有3个字母，通常需要找到函数图象上3个点的坐标．

1．(泉州中考)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．

(1)求a的值；

(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m

类型2

利用“三点式”求二次函数解析式

如果已知函数图象上三点的坐标，通常设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y2轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A，B和D(4，－)．求抛物线的表达式．

3

3．(广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，2)，(3，2)，(2，

3)．

(1)请在图中画出△ABC向下平移3个单位的像△A′B′C′；

(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．

类型3

利用“顶点式”求二次函数解析式

如果已知二次函数顶点和图象上另一点，则设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k.如果已知对称轴、最大值(最小值)或者二次函数的增减性也考虑利用“顶点式”．

4．(普陀区一模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，6)，对称轴为直线x＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．

5．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．

①y随x的变化的部分数值规律如下表：

x y －1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 ②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；

③函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分(如图)．

(2)直接写出二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．

类型4

利用“交点式”求二次函数解析式

如果已知二次函数图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，那么设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)．

6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点；

(1)求此函数解析式；

(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．

7．已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，－2)，求此二次函数的解析式．

类型5

利用“平移规律”求二次函数解析式

已知移动后的抛物线的解析式，求移动前抛物线的解析式．可先求移动后抛物线的顶点坐标，再反向移动还原原抛物线的顶点坐标，利用a不变求出原抛物的解析式．

8．如图所示，已知抛物线C0的解析式为y＝x2－2x.

提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标

2b4ac－bb(－，)，对称轴x＝－. 2a4a2a

(1)求抛物线C0的顶点坐标；

(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2，C3，…，Cn(n为正整数)．

①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标；

②试确定抛物线Cn的解析式．(直接写出答案，不需要解题过程)

参考答案

1.(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－2.解得a＝－1. (2)由(1)得a＝－1<0，抛物线的开口向下，在对称轴x＝3的左侧，y随x的增大而增大．∵m

2.设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.由题意得A(0，－2)，B(2，－2)，因为抛物线y＝ax221所以＋bx＋c过A，B，D三点，将三点坐标代入，得16a＋4b＋c＝－3，解得b＝－，3c＝－2，c＝－2.4a＋2b＋c＝－2，11抛物线的表达式为y＝x2－x－2.

633.(1)图略．

(2)由题意得A′，B′，C′的坐标分别是(0，－1)，(3，－1)，(2，0)，设过点A′、B′、C′的1a＝，6

c＝－1，2二次函数的关系式为y＝ax＋bx＋c，则有9a＋3b＋c＝－1，解得3∴二次函数的b＝，4a＋2b＋c＝0，2c＝－1.13关系式为y＝－x2＋x－1.

22a＋k＝0，a＝2，4.设二次函数解析式为y＝a(x－2)＋k，把A(1，0)，C(0，6)代入，得解得4a＋k＝6，k＝－2.21a＝－，2则二次函数解析式为y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6，二次函数图象有最低点，即顶点坐标为(2，－2)．

5.(1)答案不唯一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的顶点坐标为(1，4)，则可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋4.∵图象经过点(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝0，代入解析式，得a(－1－1)2＋4＝0，解得a＝－1.∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝1；与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)；与y轴的交点为(0，3)；顶点坐标为(1，4)；当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，二次函数有最大值y＝4.

6.(1)因为二次函数图象经过A(－1，0)、B(3，0)，所以设y＝a(x＋1)(x－3)．把C(0，－3)代入，得－3＝－3a.解得a＝1.所以此函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. (2)不在．因为该函数的开口向上，最小值为－4，所以点M(m，－5)不在这个二次函数的图象上．

7.∵抛物线的对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x轴两交点为(－1，0)，(5，0)．∴设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．将点(0，－2)代入上式，得－2＝a(02228＋1)(0－5)，∴a＝.因此二次函数解析式为y＝(x＋1)(x－5)．即y＝x2－x－2.

55558.(1)∵y＝x2－2x＝

(x－1)2－1，∴抛物线C0的顶点坐标为(1，－1)．

(2)①当y＝0时，则有x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∴抛物线C0与x轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)．∵将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，∴此时抛物线C0与x轴的交点(0，0)、(2，0)也随之向右平移2个单位，∴抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1(2，0)、A2(4，0)．

②抛物线Cn的解析式为：y＝x2－(4n＋2)x＋4n2＋4n.