4. 动能 动能定理教学设计一等奖

习题课

动能定理的应用

应用动能定理求变力做功

[要点归纳]

1．动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便。

2．利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk。

3．当机车以恒定功率启动，牵引力为变力时，那么牵引力做的功可表示为W＝Pt。

[错题回顾]

P.57第4题——如图1，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(

)

图1 1A．mgR

41C．mgR

21B．mgR

3πD．mgR

4mv21解析

在Q点，N－mg＝，所以v＝gR；由P到Q根据动能定理得mgR－Wf＝mv2，R21解得Wf＝mgR，故C正确。

2答案

C

(1)所求变力的功可以是合力的功，也可以是其中一个力的功，但动能定理中，合力的功才等于动能的变化量。

(2)待求变力的功一般用符号W表示，但要分清结果是变力的功，还是克服此变力的功。

[针对训练1]

一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图7所示。则力F所做的功为(

)

图7 A．mglcos θ

C．mgl(1－cos θ)

B．Flsin θ

D．Fl(1－sin θ) 解析

小球的运动过程是缓慢的，因而小球在任何时刻均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F是变力，对小球由动能定理可得：WF－mg(l－lcos θ)＝0，则WF＝mgl(1－cos θ)，故C正确。

答案

C

[针对训练2]

质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图2所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(

)

图2 12A．mv0－μmg(s＋x)

2C．μmgs

1B．mv2－μmgx

20D．μmg(s＋x) 1212解析

由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv0，故物体克服弹簧弹力做功W＝mv0－22μmg(s＋x)，A正确。

答案

A

动能定理在多过程问题中的应用

[要点归纳]

对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。

1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。

2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动

能定理列式求解。当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。

1【作业回顾】P.57第4题——半径R＝1 m的圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平4轨道离地面高度h＝1 m，如图6所示，有一质量m＝1.0 kg的小滑块自圆轨道最高点A由静止开始下滑，经过水平轨道末端B时速度为4 m/s，滑块最终落在地面上，(g取10 m/s2)，试求：

图6 (1)不计空气阻力，滑块落在地面时速度的大小；

(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功. 答案

(1)6 m/s

(2)2 J 112解析

(1)从B点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有mgh＝mv2－mv B，

22代入数据解得v＝6 m/s. (2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为Wf，对滑块从A到B这一过程运用动能定理12有mgR－Wf＝mv －0，

2B解得Wf＝2 J.

[精典示例]

[例2]

我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图5所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1 530 J，取g＝10 m/s2。

图5 (1)求运动员在AB段下滑时受到阻力f的大小；

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。

解析

(1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有

v2B＝2ax，

H由牛顿第二定律，有mg－f＝ma，

x联立①②式，代入数据解得f＝144 N。

①

②

③

(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理，有mgh＋112W＝mv2C－mvB。

22

④

设运动员在C点所受的支持力为N，由牛顿第二定律，有

v2CN－mg＝m，

R

⑤

由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5 m。

答案

(1)144 N

(2)12.5 m

利用动能定理研究单物体多过程问题的思路

(1)应用动能定理解决多过程问题时，要根据题目所求解的问题选取合适的过程，可以分过程，也可以整过程一起研究。值得注意的是虽然列式时忽略了中间复杂过程，但不能忽略对每个过程的分析。

(2)在运动过程中，物体受到的某个力可能是变化的或分阶段存在的，应用动能定理列式时要注意这种力做功的表达方式。

[针对训练3]

如图6所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg 的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：

图6 (1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)；

(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离。

解析

(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零。从木块开始运动到弧形槽最高点，由动能定理得：FL－fL－mgh＝0 其中f＝μN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N FL－fL1.5－1.0×1.5所以h＝＝

m＝0.15 m mg0.5×10(2)设木块离开B点后沿桌面滑动的最大距离为x。由动能定理得：

mgh－f

x＝0

mgh0.5×10×0.15所以x＝＝

m＝0.75 m f1.0答案

(1)0.15 m

(2)0.75 m [针对训练4]如图4所示，一可以看成质点的质量m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，B、C在同一条竖直线上，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g取10 m/s2.

图4 (1)求小球的初速度v0的大小；

(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案

(1)3 m/s

(2)－4 J 解析

(1)在A点由平抛运动规律得：

v05vA＝＝v0. cos 53°3小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得

1122mg(R＋Rcos θ)＝mv

A－mv

220由①②得：v0＝3 m/s. 2mv 112C2(2)在最高点C处有mg＝，小球从桌面到C点，由动能定理得Wf＝mv －mv

，代R2C20①

②

入数据解得Wf＝－4 J.

2．(摩擦力做功)如图8所示，质量为m的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动。当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动。(设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力)。则在这一过程中摩擦力对物体做的功是(

)

图8 A．0

B．2μmgR

C．2πμmgR

μmgRD．

2解析

物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心mv2力，设此时物体做圆周运动的线速度为v，则有μmg＝

①。在物体由静止到获得速度vR的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：W＝121mv－0

②，联立①②解得W＝μmgR。

22答案

D 3．(动能定理与图像结合)(2017·淮安高一检测)(多选)如图9甲所示，质量m＝2 kg的物体以100 J的初动能在粗糙的水平地面上滑行，其动能Ek随位移x变化的关系图像如图乙所示，则下列判断正确的是(

)

图9 A．物体运动的总位移大小为10 m B．物体运动的加速度大小为10 m/s2

C．物体运动的初速度大小为10 m/s D．物体所受的摩擦力大小为10 N 解析

由图像可知，物体运动的总位移为10 m，根据动能定理得，－f

x＝0－Ek0，解得Ek0100ff＝＝

N＝10 N，故A、D正确；根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度大小a＝x10m1012＝

m/s2＝5 m/s2，故B错误；根据Ek0＝mv0得v0＝22C正确。

答案

ACD 4．(多过程问题)(2017·承德高一检测)如图10所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的物块以某一速度向右运动，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，而后向上运动恰能完成半圆周运动到C点，求物块从B点到C点克服摩擦阻力所做的功。

2Ek0＝m2×100

m/s＝10 m/s，故2

图10 解析

物块运动到B点，由于其对导轨的压力为其重力的7倍，故有：

v2B7mg－mg＝m，

RB点物块的动能为

12EkB＝mvB＝3mgR；

22vC物块恰好过C点有：mg＝m，

R1C点的动能EkC＝mgR。

2设物块克服摩擦阻力做功为Wf，物块从B点到C点运用动能定理有：－mg·2R－Wf＝51EkC－EkB＝－mgR，故物块从B点到C点克服摩擦阻力所做的功Wf＝mgR。

221答案

mgR

2

基础过关

1．如图1所示，假设在某次比赛中运动员从10 m高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当作质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)(

)

图1 A．5 m

C．7 m

解析

设水深h，对全程运用动能定理

mg(H＋h)－fh＝0，f＝3mg

即mg(H＋h)＝3mgh。所以h＝5 m。

答案

A B．3 m

D．1 m

2．(多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v－t图像如图2所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为f，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则(

)

图2 A．F∶f＝1∶3 C．F∶f＝4∶1 B．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3 解析

对汽车运动的全过程，由动能定理得：W1－W2＝ΔEk＝0，所以W1＝W2，选项B正确，选项D错误；设牵引力、摩擦力作用下的位移分别为x1、x2，由图像知x1∶x2＝1∶4。由动能定理得Fx1－f

x2＝0，所以F∶f＝4∶1，选项A错误，选项C正确。

答案

BC 3．如图3所示，木板长为l，木板的A端放一质量为m的小物体，物体与板间的动摩擦因数为μ。开始时木板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物体始终保持与木板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法中正确的是(

)

图3 A．摩擦力对物体所做的功为mglsin θ(1－cos θ) B．弹力对物体所做的功为mglsin θcos θ

C．木板对物体所做的功为mglsin θ

D．合力对物体所做的功为mglcos θ

解析

重力是恒力，可直接用功的计算公式，则WG＝－mgh；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以Wf＝0；因木板缓慢运动，所以合力F合＝0，则W合＝0；因支持力N为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理W合＝ΔEk知，WG＋WN＝0，所以WN＝－WG＝mgh＝mglsin θ。

答案

C 4．如图4所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB、BC两段，AB＝2BC。小物块P(可视为质点)与AB、BC两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1，μ2。已知P由静止开始从A点释放，恰好能滑动到C点而停下，那么θ、μ1、μ2间应满足的关系是(

)

图4 μ1＋2μ2A．tan θ＝

3C．tan θ＝2μ1－μ2

2μ1＋μ2B．tan θ＝

3D．tan θ＝2μ2＋μ1

解析

由动能定理得mg·AC·sin θ－μ1mgcos θ·AB－μ2mgcos θ·BC＝0，则有tan θ＝2μ1＋μ2，故选项B正确。

3答案

B 5．如图5所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(

)

图5 1A．mgh－mv2

2C．－mgh

1B．mv2－mgh

21mgh＋mv2

D．－2解析

由A到C的过程运用动能定理可得：

11－mgh＋W＝0－mv2，所以W＝mgh－mv2，故A正确。

22答案

A 6．如图6所示，质量为m的物体从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求：

图6 (1)物体滑至斜面底端时的速度；

(2)物体在水平面上滑行的距离。(不计斜面与平面交接处的动能损失) 解析

(1)物体下滑过程中只有重力做功，且重力做功与路径无关，由动能定理：mgh1＝mv2，可求得物体滑至斜面底端时速度大小为v＝2gh。

2(2)设物体在水平面上滑行的距离为l，

1由动能定理得：－μmgl＝0－mv2，

2

v2h解得：l＝＝。

2μgμh答案

(1)2gh

(2)

μ能力提升

7．(2017·黄岗高一检测)一个人把质量为1 kg的物体由静止向上提升1 m，同时物体获得2 m/s的速度，重力加速度g取10 m/s2，关于这个过程，正确的说法是(

) A．物体克服重力做功20 J C．合力对物体做功2 J B．合力对物体做功22 J D．人对物体做功2 J 解析

重力做的功WG＝－mgh＝－1×10×1 J＝－10 J。故物体克服重力做功10 J，选11项A错误；由动能定理可知，合力对物体做功W合＝mv2－0＝×1×22

J＝2 J，故选项C22正确，选项B错误；人对物体做功W＝W合－WG＝2 J＋10 J＝12 J，选项D错误。

答案

C 8．如图7所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，则水平力对小球所做的功至少为(

)

图7 A．mgR

C．2.5mgR

B．2mgR

D．3mgR

mv2解析

要通过竖直光滑轨道的最高点C，在C点，则有mg＝，对小球，由动能定R1理W－2mgR＝mv2，联立解得W＝2.5mgR，C项正确。

2答案

C 9．用起重机提升货物，货物上升过程中的v－t图像如图8所示，在t＝3 s 到t＝5 s内，重力对货物做的功为W1、绳索拉力对货物做的功为W2、货物所受合力做的功为W3，则(

)

图8 A．W1＞0

C．W2＞0

B．W2＜0 D．W3＞0 解析

分析题图可知，货物一直向上运动，根据功的定义式可得：重力做负功，拉力做

1正功，即W1＜0，W2＞0，A、B错误，C正确；根据动能定理：合力做的功W3＝0－mv2，2v＝2 m/s，即W3＜0，D错误。

答案

C 10．(多选)在距水平地面10 m高处，以10 m/s的速度水平抛出一质量为1 kg的物体，已知物体落地时的速度为16 m/s，取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(

) A．抛出时人对物体做功为150 J B．自抛出到落地，重力对物体做功为100 J C．飞行过程中物体克服阻力做功22 J D．物体自抛出到落地时间为2 s 1解析

根据动能定理，抛出时人对物体做的功W1＝mv2＝50 J，选项A错误；自抛出21到落地，重力对物体做功WG＝mgh＝100 J，选项B正确；根据动能定理有mgh－Wf＝Ek2112－Ek1，得物体克服阻力做的功Wf＝mgh－mv2＋mv＝22 J，选项C正确；由于空气阻力2221的影响，物体不做平抛运动，竖直分运动不是自由落体运动，无法求解物体运动的时间，选项D错误。

答案

BC 11．一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t，其速度由0增大到v。已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。求这段时间内列车通过的路程。

解析

以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力。设列车通过路程为s，据动能定理

1WF－Wf＝Mv2－0，WF＝Pt，Wf＝fs

21故Pt－fs＝Mv2

22Pt－Mv2解得：s＝。

2f2Pt－Mv2答案

2f12．如图9甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.6 m的竖直半圆弧轨道BC在B处平滑连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)从A处由静止开始受水平力F作用而运动，F随位移变化的关系如图乙所示(水平向右为正)，滑块与AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC间的动摩擦因数未知，g取10 m/s2。

图9 (1)求滑块到达B处时的速度大小；

(2)求滑块在水平轨道AB上运动前2 m过程所用的时间；

(3)若到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？

解析

(1)对滑块从A到B的过程，由动能定理得

1F1x1－F3x3－μmgx＝mv2

2B得vB＝210m/s。

(2)在前2 m内，由牛顿第二定律得

1F1－μmg＝ma，且x1＝at2

21解得t1＝8

s。

352vC(3)当滑块恰好能到达最高点C时，有mg＝m

R对滑块从B到C的过程，由动能定理得

112W－mg·2R＝mv2C－mvB

22代入数值得W＝－5 J 即克服摩擦力做的功为5 J。

答案

(1)210m/s

(2)8

s

(3)5 J 3513．如图10所示，ABCD为一位于竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑且与BC平滑连接。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为零。g取10 m/s2，求：

图10 (1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；

(2)物体第5次经过B点时的速度；

(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。

解析

(1)由动能定理得

1mg(H－h)－μmgxBC＝0－mv2，解得μ＝0.5。

21(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得

112mgH－μmg·4xBC＝mv2－mv，

2221解得v2＝411 m/s。

(3)分析整个过程，由动能定理得

1mgH－μmgs＝0－mv2，

21解得s＝21.6 m。

所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故距B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m。

答案

(1)0.5

(2)411 m/s

(3)距B点0.4 m