2.6.1菱形的性质教学设计一等奖

第二章

四边形

2．6．1菱形的性质

林城镇中学 唐金娥

一、教学目标

1、知识与技能：经历菱形的性质的探究过程，熟练掌握菱形的两条特有的性质。

2、过程与方法：

（1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力. （2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力. 3、情感态度：在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二、教学重难点

教学重点：菱形性质的探求. 教学难点：菱形性质的探求和应用. 三、教具学具准备

教具准备：多媒体 矩形纸片 直尺（或三角板）

四、教学过程：

（一）情境引入

多媒体展示：生活中的菱形

板书：菱形的性质

（二）探索新知

1、定义

运用几何画板展示将平行四边形的一边进行平移，即由平行四边形变菱形的过程。

学生活动：归纳菱形的定义

板书：一、菱形的定义：

强调：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

2、探索性质

（1）.做一做

下面我们一起做一个菱形

- 1 -

（同桌互相帮助）

（2）．小组讨论。

引导学生从边、角、线及对称性方面进行探讨。

问题：

5 A 1 2 6 O 3 4 7 8 D 1、菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴在哪里？ B C 2、菱形是中心图形吗？如果是，对称中心在哪里？ 3、从边来看（位置关系与数量关系）？ 4、从角来看每组对角和邻角的关系？

5、从对角线来看（位置关系与数量关系）？ 6、对角线分得的每组对角有什么关系？

（学生可能先大胆猜想或根据问题的提示，进而通过折叠、旋转各自手中菱形来推理验证自己的猜想，对于学生可能出现的合情的方法，老师应给予鼓励与肯定。）

（3）小组交流成果，概括菱形的性质

1、菱形边的性质。

2、菱形角的性质。

3、菱形的对角线的性质。

4、菱形对称性。

教师强调，并板书：菱形的性质

（4）学生交流讨论菱形性质（菱形的四条边都相等及菱形的对角线互相垂直）的推理过程。

（三）、例题精讲

教师活动：屏幕呈现例题，指导学生观看问题，并点评解题思路及过程，最后屏幕呈现详细解题过程，供学生参考。

例1：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形

解：（1）在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180°（两条线平行，同旁内角互补）

又∵∠BAD=2∠B ∴∠B=60°

（2）在菱形ABCD中，AB=BC（菱形的四条边都相等）

- 2 -

又∵∠B=60°

∴△ABC是等边三角形（一个角为60º的等腰三角形是等边三角形）

例2：如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm,求这个菱形的周长。

解：∵AC=8cm，BD=6cm ∴AO=4cm, BO=3cm（菱形的对角线互相平分）

∴AB=5cm(勾股定理) ∴菱形ABCD的周长=4AB=20cm(菱形的四条边都相等) （四）知识检测，学习反馈

学生活动：完成屏幕上展示的练习，并每题由一名学生来说出答案及原因。

教师活动：屏幕展示练习：

1、对于以下图形（1）矩形（2）等边三角形（3）平行四边形（4）菱形（5）圆（6）线段， 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ D ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、已知菱形的两条对角线长分别是10和24,则菱形的周长为__52___。 3、

如图，在菱形ABCD中，AB=5cm, AO=4cm，求这一菱形的周长与两条对角线的长A D 度。

解:这一菱形的周长=4AB=4×5=20cm 对角线AC=2AO=2×4=8cm

B O C B A O C D ∵BO=3cm(勾股定理)∴BD=2BO=2×3=6cm

(五)、课堂小结 这堂课你学到了什么？

(六)

、布置作业

A类P67 练习1 B类P70习题2 选做题P71 B组6

- 3 -

1.1.2菱形的判定

一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法.

二、教学重点:

菱形判定方法的探究. 三、教学难点:

菱形判定方法的探究及灵活运用. 四、教学过程: 活动1、引入新课，激发兴趣

1、复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；

性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补；

性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

2、导入

(1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？

根据菱形的定义可知：

一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. (2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法

【问题牵引】

用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？

继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？

- 4 -

BAOC

学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？

学生用几何语言表示命题如下：

已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，

求证：□ABCD是菱形。

D分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形。

【归纳定理】

通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1): 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

活动3、菱形第二个判定方法的应用

例3 如图，如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，

求证：□ABCD是菱形。

思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，•而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。 活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法

【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?

- 5 -

学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。

学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程。

【归纳定理】

从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2): 四边相等的四边形是菱形。

活动5、菱形第三个判定方法的应用

如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形。

思路点拨：

方法一，由中点联想到连接矩形对角线BD、AC，利用三角形中位线等于底边的一半，证明EF=FG=GH=EH。根据判定定理，所以四边形EFGH是菱形。

方法二：通过证明图中四个Rt△全等，得到EF=FG=GH=EH。

活动6、随堂练习

练习1： 判断下列说法是否正确？为什么？

(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；

(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；

(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

练习2：填空。

可得AC=BD。如图：□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；

（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；

（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；

（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。

活动7、评价和反思

1、通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？

2、菱形的判定方法有哪些？

- 6 - D A

O B C

2.1矩形的性质与判定 一、教学目标：

1. 知识与技能：经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用。

2. 过程与方法：在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯，在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点与难点：

教学重点：探索矩形的判定方法、突破方法：为了突出重点，以学生自主探索、合作交流为主，提出问题，让学生动眼观察，动脑猜想，动手验证，进而掌握矩形的判定方法。

教学难点：判定方法的理解和初步运用，突破方法采用教师引导和学生合作的教学方法，及化归的数学思想。

三、教具准备：

教师：三角板、

圆规

学生：

三角板、圆规、白纸

四、教学过程

（一）自学导纲

1、创设情境

导入新课

师：请同学们观察教室的门窗是什么形状？

工人师傅在制作这些门窗时，是怎样验证它们是矩形的？大家想不想知道？本节老师将带领大家一起探讨这一问题。 （板书课题 20.2 矩形的判定）

2、出示导纲，学生自学

师：请同学们自学教材P107，独立完成下列问题

导纲知识性问题1~4。

（二）合作互动 探究新知

- 7 -

1、师：哪们同学愿意将你自学的成果展示给大家，其他同学注意倾，看有没有与自己不同的在方。

生、

汇报

师：大家完成的很好，请猜想它是真命题还是假命题？你能证明一下你的猜想吗？请同学们用圆规和直尺画对角线相等的平行四边形，并与同桌交流一下，这是个什么图形？

生：汇报

师：这像个矩形，如何用逻辑推理的方法验证，请同学们小组合作，讨论验证。

生：小组合作交流

师：请同学们说说你的证明过程（学生回答）

你们为什么想到用这种方法？

通过动手操作和逻辑推理明白它是个真命题，我们把它做为矩形的判定定理1（板书定理1）判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。

2、用几何符号应怎样表示？

3 、刚才我们验证了猜想1，那么猜想2呢？还请同学们小组之间相互交流讨论合作完成导纲探究性问题3。

请同学们将你思考的结果告诉大家。有没有不同的意见。

有三个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？

学生独立思考并回答。

通过验证，我们明白它是一个真命题，因此，我们又得到一个矩形的判定定理――――判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。

用几何符号怎样表示？

非常好，通过我们齐心协力的合作，得出了矩形三种判定方法，请同学们齐读一遍。

生：…

师：大家对这三种方法理解的如何，请看下面的问题。导纲中巩固训练。生完成并说明原因。

我们已经学习了矩形的判定方法，如何应用请完成下面例题。

下列各句判定矩形的说法是否正确。

（1）对角线相等的四边形是矩形。

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

（3）两组对边分别相等且对角线相等的四边形是矩形。

- 8 -

（4）三个角都相等的四边形是矩形。

（5）四个角都相等的四边形是矩形。

（6）有一个角是直角的四边形是矩形。

知识应用：

例1：如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。

求证：四边形EFGH是矩形。

分析：要判定一个四边形是矩形有几种方法？已知什可用什么判定方法？

生完成证明过程：

师示范：证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且互相平分）

∵AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH，

∴四边形EFGH是平行四边形

∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）

变式训练：已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。

求证：四边形EFGH是矩形． 小结：方法

回顾情境问题

（三）、导学归纳：

1、本节课你主要学习了什么内容？

2、矩形判定的方法有几种？

3、在证明判定定理一时，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了________________数学方法。

4、学习了本节之后，你还有什么困惑？

- 9 - AEFBOjDHGC么？

（四）、反馈训练

1、根据所学知识填表。

定义

文字描述

A图形

D几何语言

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°

有一个角是直角的平行四边形是矩形

BC∴四边形ABCD是矩形

∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD

定理一

AD

BC

∴四边形ABCD是矩形

定理二

有三个角是直角的四边形是矩形

ADBC

3、如图平行四边形ABCD中，∠1＝∠2,此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？

A1D2BC

思考题：在平行四边形ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由。

- 10 -

1.3.1正方形的定义及性质

一、学习目标： 1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。

2、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。

二、课前检测：

1、矩形的性质是什么？ 2、菱形的性质是什么？

三、探究新知：

1、正方形的定义：如图，改变矩形的边，使之一组邻边相等，就得到了一个正

方形。

定义： 相等的 叫做正方形。

条件有：（1） （2） 改变菱形的角，使之一角的直角，就得到了一个正方形。

定义：有一个角是 的 叫做正方形。

条件有：（1） （2） 2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题. ①它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数

量关系？

②图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？

④图中有哪些特殊形状的三角形？是哪些？

3、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

所以，正方形具有 的性质，同时又具有 的性质．

总结：正方形边的性质： 。

- 11 -

正方形角的性质： 。

正方形对角线的性质： 。

4、几何语言：（如图）∵正方形ABCD （边） ∴ （角） （对角线） 。

对应练习一：

（1）正方形的边长为4cm，则周长为 ，面积为 ，对角线长

为 ．

（2）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为 ，

周长为 ，面积为 。

（3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。

三、范例讲解： 例1 ：已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上

一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．

对应练习二：

1、

已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，

且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．

2、

如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD 的度数．

四、课堂小结：本节课你学到了什么？

五、作业：A、如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

B、已知如图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数. C 、正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AO=4 cm,求正方形的边长、周长、面积。

- 12 -

1.3.2一、教材分析：

上节课讲述了正方形的概念（定义）和性质，本节课从表面上来看只安排两个例题，而实际上是通过两个例题使学生掌握正方形的判定方法，从而进一步加深对正方形概念定义的理解。

例7课本介绍两种判定方法即：正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法。例8课本只介绍了正方形的矩形判定法。这两种判定法的由来必须和学生一起探究清楚，这个探究过程也是培养学生分析解决问题能力的过程，增强学生理解掌握正方形的判定方法的过程。

为了让学生能更好的运用正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法必须要求学生复习掌握矩形和菱形各自的常用判定方法：

矩形常用的判定方法：

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形

2、有三个角是直角的四边形是矩形

3、两条对角线相等的平行四边形是长方形

菱形常用的判定方法：

1、四条边都相等的四边形是菱形

2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形

3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形

例7、例8每个题目都可用正方形的定义法（即平行四边形法），矩形法和菱形法来做，在每个例题提出来以后，可先与学生一齐分析已知条件，启发引导学生让他们探究（思考、讨论）用什么方法，根据学生的反映情况加以点拔。

例7讲述两种方法，平行四边形法课后练习

例8讲述矩法，而菱形法和平行四边形法视课堂时间灵活掌握，通过以上分析本节课的教学目的，使学生学习、掌握正方形的判定方法，从进一步加深学生对正方形概念的理解和掌握。

本节课的教学重点：使学生掌握正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法及平行四边形判定法。

- 13 - 正方形的判定

二、教学过程

1、复习正方形的概念（定义）

学生回答后板书或媒体投影

从正方形的定义可以看出：一个四边形必须满足三个条件：①它是平行四边形②它有一组邻边相等③它有一个角是直角，那么它才是正方形

2、提出问题：如何判定一个四边形是正方形呢？

现在只有一个办法：用正方形的定义（概念）来判定，即定义法：具体判定法：由定义先证明四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边相等；最后证明它有一个角是直角

此即判定正方形的定义法及证题步骤：

以下引导学生把左边三步中的前两步结合在一起：即1、证明了四边形是平行四边形，2、证明它有一组邻边相等，那么就可以判定四边形是菱形，因而左边三步中的前两步实质上是在判定四边形是菱形，再加上第三步证明它有一个角是直角就要以判定它是正方形。从而得出判定正方形的第二个方法“菱形法”

：有一个直角的菱形是正方形。步骤是：1、先证明四边形是菱形（在教学中可以提问学生判定四边形是菱形的常用方法，也可教师口述帮学生复习）

2、再证明它有一个角是直角

同样的方法引导学生把要右边三步中的前①②步实质是在判定四边形是矩形，再加上第三步证明有一组邻边相等就可以判定它是正方形。从而得出判定正方形的第三个方法，“矩形法”：有一组邻边相等的矩形是正方形

步骤：1、先证明四边形是矩形（可提问学生矩形的判定法，也可教师口述帮学生复习）

2、再证明它有一组邻边相等

3、讲解例题

教法：①画图引导学生由每个已知条件，你能想到什么结果并画在图上表示（如直角、角平分线、垂直、平行、相等……..）

②让学生根据图标思考或相互讨论，你打算用什么方法证明

③根据学生的反映情况确定两种证法，引导学生逐步完成证明（教师同时规范书写

- 14 -

证明过程）

④把定义法即平行四边形放到课外让学生思考、练习也可以根据当时的学生气氛及课内时间把例7中的第二个证法略加改动，进行引申：

在证明四边形CEDF是平行四边形和DE=DF后不判定四边形CEDF是菱形，又∵∠ACB是直角∴平行四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形）

也可引导学生，不证四边形ＣＥＤＦ是平行四边形，直接证明它的四条边相等，从而证明它是菱形，再证它是正方形可让学生课外思考练习

4、讲解例题

教法基本同例7，在引导学生探究解法后用“矩形法”证明。教师规范板书过程。

菱形法与平行四边形法视课内时间和学生气氛情况而定

可讲其一，仅口述而不板书或两种法均留课后练习，课内仅作分析引导

5、小结：

⑴

判定正方形的三种常用方法：①定义法②矩形法③菱形法

⑵

矩形法、菱形法都是由定义法演变出来的

⑶

灵活选用方法，规范书写证明过程

正方形的判定方法：

正方形的定义：有一组邻居边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

由正方形的定义，一个四边形必须满足三个条件：①它是平行四边形②它有一组邻边相等③它有一个角是直角，那么它才是正方形。

判定正方形的方法

方法一：用定义判定即定义法又称平行四边形法

步骤

方法二：菱形法 方法三：矩形法

步骤：①、证明四边形是菱形 ①、证明四边形是菱形

②、证明它有一个角是直角 ②、证明它有一组邻边相等

- 15 -

例7、8按课本板书画图及标注如下

- 16 -