2.1.2 向量的几何表示课堂实录【1】

第二章

平面向量

2.1.2 向量的几何表示

重庆涪陵实验中学校 蒲小琴

一、教学目标

1.知识与技能：

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握用有向线段表示向量，理解平行向量的概念。

2.过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，突出向量的图形语言与符号语言，体会数学结合的思想。

3.情感、态度与价值观

通过学生对向量几何表示的学习，培养学生观察问题，分析问题、解决问题的能力。

二．重点难点

重点：理解用有向线段表示向量. 难点：理解有向线段与向量的区别和联系

三、教材与学情分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

(一)情景设置

1.观看视频，世界拔河比赛中国队与白人队的对决赛。

我们知道，在拔河比赛中要想赢得对方满足两个条件：

每组队员的方向一致；拉力比对方大。

2.复习向量与数量的概念

向量：既有大小又有方向的量.比如力、位移、加速度等等；

数量：只有大小，没有方向的量.比如年龄、面积、温度等等。

（二）新课讲解

1.实数的几何表示

同学们都知道实数可以用数轴上的一个点来表示，不同的点表示不同的实数。实数a就是一个数量，因此用数轴上的一个点来表示数量，而且不同的点表示不同的数量。

问题1：数量可以这样表示，那能不能用一种几何图形来表示平面向量？

2.向量的几何表示

问题2：在物理中，学过力的概念，如何画物体所受的力？

（1）现用20N的拉力F，竖直向上提重量为30N的物体，请在图中作出拉力与重力。（其中1cm表示大小为10N的力）

F=20N

G=30N

我们用一条线段带上一个箭头（箭头方向竖直向上）表示了拉力，线段的长度表示拉力的大小，我们把这个图形叫“带箭头的线段”，同样的方法，用“带箭头的线段”表示竖直向下的重力G. (2)有向线段的表示

请同学们自行画出线段AB. 问题3：在线段AB上能否确定方向，如果能，能确定几个方向？

问题4：这两个方向能否在图中表示出来？

当方向从点A指向点B时，点A叫起点，点B叫终点；反之亦然.

让线段带上了方向，我们把带有方向的线段叫做有向线段。

问题5：以点A为起点，点B为终点的有向线段就用图形表示出来了，那如何用数学符号表示它呢？

我们通常线段AB上方画出一个箭头，记作问题6：AB,起点写在终点的前面。

AB与BA表示同一条有向线段吗？

AB，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，

有向线段的长度问题，已知有向线段记作：AB

问题7：当一个有向线段的起点A与终点B都确定时，这个有向线段是否唯一确定？确定一

个有向线段的要素有几个？

有向线段的三要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。

（3）用有向线段表示向量

力是既有大小也有方向的量，就是向量，我们用有向线段表示了力，也就表示了这一特殊向量，因此也可以用有向线段表示一般的向量。

问题8：如何用有向线段表示向量呢？

用有向线段的长短表示向量的大小，用它的方向表示向量的方向；

以A点为起点、B为终点的有向线段所表示的向量，记作AB，读作：向量AB

也可以用小写的字母来表示向量，即用a，b，c…表示向量，印刷用粗黑体小写字母表示向量

问题9：如何用数学符号表示向量向量的模就是向量的大小，即向量（4）有向线段与向量的区别

向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 3.特殊向量与平行向量

零向量：长度为0的向量；记作注意aAB的大小

AB的长度，记作AB

0

0与0的含义与书写区别。

单位向量：长度等于1个单位的向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

4.平行向量与相等向量

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量. 向量a，b平行，记作：a//b

规定：零向量与任一向量平行,记作0//a

思考：两向量平行与平面几何里两线段平行有什么区别？

a//b//c e//f规定：.[来源:学科网ZXXK]

(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量，记作ab

注意：1°零向量与零向量相等．[ 2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．（三）例题讲解

例1.假设下图每个格子的边长是1cm，比例尺是1:100，请求出下列各向量的模

AB

CD

EF

GH

a

例2：回答下列问题

（1）单位向量是否一定相等？

（2）单位向量的大小是否一定相等？

（3）平行向量是否一定方向相同？

（4）不相等的向量一定不平行吗？

（5）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

（6）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

巩固练习1：

下列结论中，哪些是正确的？

A.如果两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；

B.模相等的两个平行向量是相等向量；

C.如果两个向量是单位向量，那么它们相等；

D.两个相等向量的模相等. 四、课堂小结

知识小结：用有向线段表示向量；零向量和单位向量以及平行向量和相等向量的概念；

方法及数学思想小结：类比的思想，数形结合思想

五、课后作业

教材P77练习题1-4 习题A组1,2 六、教学反思