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平面向量基本定理教学设计

【教材分析】

本节课选自人教A版高中数学必修4第二章平面向量第三节第一课时平面向量基本定理。本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

【学情分析】

从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量，向量的加法，减法和数乘运算及向量共线的充要条件等，另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。

从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。

本节课的授课对象是普通中学的高一学生，该年级的学生已经学***面向量的线性运算以及平面向量共线定理，具备了进一步探究能力。该年级的学生有强烈的求知欲，并对事物充满好奇心，能独立思考并解决简单问题，同时该班级的学生爱表现，希望得到老师的肯定，但是不善于对知识进行总结归纳，因此在教学过程中，引导学生进行独立思考，并逐步培养他们的概括归纳能力。

【教学目标】

知识与技能:理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.

过程与方法：通过学***面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.

情感态度与价值观：通过学***面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

【教学重难点】

重点：平面向量基本定理的应用；

难点：平面向量基本定理的理解. 【教学方法与手段】

教法：讲授法 问题驱动法

学法：小组讨论法 练习法

【教学过程】

复习回顾，问题导学

预设：a：把a正向（0）或反向（0）伸长或缩短为原来的倍

教师导语：此时我们发现a与a共线。什么是向量共线定理？

预设：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.

教师导语：两个向量共线，其中一个向量能用另一个向量表示.那么，平面上两个不共线的向量，其中一个向量能否由另一个向量表示？

预设：根据共线的特征，不能. 教师导语：自然而然，我们想，任意一个向量不能用一个向量表示，那么能用两个向量表示吗？这就是我们这节课要研究的问题，平面向量基本定理.

【设计意图】从学生认知出发，通过学生已学的知识，理解揭示数学中的本质，

自然而然地引出新课。

活动探究，讲授新知

教师导语：先来思考这么一个问题，给定平面内两个向量e1,e2，如何作出量3e12e2,e12e2,

预设：学生用平行四边形法则、三角形法则等完成.教师进行投影展示. 教师导语:反过来，平面内任一向量a是否都可以用形如1e12e2的向量表示？

预设：学生尝试画并总结.教师板书学生所讲内容. 师生总结：平面向量基本定理：如果是平面内两个向量e1,e2，那么对于这个平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2

教师导语：到此为止，我们的平面向量基本定理还有一点点小小的问题，是不是对于平面内任意两个向量e1,e2都可以？e1,e2有什么要求吗？

预设：不是，e1,e2不共线. 教师导语：把不共线的向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．

小试牛刀：

1、一个平面内，可作为基底的向量有

对.

2、若e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作

为基底的是

(1)e1e2和e1e2；(3)e13e2和e23e1；(2)3e12e2和4e26e1；

(4)e2和e1e2；师生总结：1、平面内的基底有无数对，只要不共线即可；

2、判断是否为基底，关键是看两个向量是否共线；看两个向量是否 共线，关键是看是否存在，使ba



【设计意图】学生画图思考讨论，自主探究得出平面向量基本定理，师生共同总结发现解决问题，培养学生发现问题解决问题的能力。

例题讲解，巩固新知

1例1、如图，四边形OADB是以向量OAa　,OBb为邻边的平行四边形，又BMBC，3

1CNCD，试用基底a、b表示OM、ON、MN.3

分析：先用向量a　,b表示OM、ON，再利用MNON-OM来表示MN.

用基底表示向量，运用向量运算解决问题.

练1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点M，ABa　,ADb，试用基底a、b表示MC、MA、MB和MD

分析：平面向量基本定理：一维直线到二维平面. rrrrrrrrr例2 设D是ABC所在平面内一点,BD2CD,且ABa,ACb。用a,b表示AD

rrrrrr例3.如图，OA,OB不共线，且APtAB（tR）,用OA,OB表示OP

开门见山，新知再探

教师导语：两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a和b的夹角.求向量的夹角需要注意什么？

预设：两向量必须是同起点的. 教师导语：



向量夹角范围是？

预设：0度到180度. 例2.在等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；

(2)AB与BC的夹角。

分析：求向量的夹角必须要求共起点. 练2、已知ab2,且a与b的夹角为60，求ab与a的夹角，a-与a的夹角.分析：先画图再计算. 1b2

小结归纳，布置作业

小结：

1.

通过本节课的学***面向量基本定理。

2.

通过本节课的学习，你对向量有了什么新的认识。

作业：

必作：学案