阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学设计(第二课时)

平面向量的正交分解及坐标表示

教学目标

掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算，让学生体验由一般到特殊的认知规律以及数形结合的思想，培养学生的应用意识，让学生感受平面向量的正交分解与现实的联系，

教学重难点

重点：平面向量的坐标运算；

难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。

教学过程

复***面向量基本定理及定理的理解

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

新课引入：

火箭的速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。（情景介绍）

新课

概念：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解

探究1分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i

、j

能否作为平面向量的基底? 探究2任一向量a ，用这组基底能不能表示? 探究3在直角坐标系中点可以用坐标来表示，对于直角坐标平面内的每一个向量如何表示呢？

1.平面向量的坐标表示

a=xi+yj

把（x，y）叫做a的坐标记作a=（x，y），x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x，y）叫做向量a的坐标表示

特别的，

i =（1,0）

j=（0,1）0=（0，0) 思考：

在直角坐标平面内以原点O为起点作向量OA=a则点A的位置由向量a唯一确定吗？

设OA=x i+y j

，则OA的坐标(x,y)就是点A的坐标，也是对应向量的坐标

- 1 -

评注:向量OA=(x，y)

A(x,y) 相等的向量坐标也对应相等.即a=（x1，y1），b=（x2，，y2）

若a=b

x1=x2,y1=y2

示例巩固

例1、

如图分别用基底i，j表示a、b、c、d，并求出他们的坐标。

解：由图可知a=AA1+AA2=2i+3j

b y 5 A2

a ∴a=（2，3）

同理

b=－2i+3j=（－2,3）

c=-2i－3j=（－2,－3）

d=2i－3j=（2，－3）

反思：

能否把向量a移到原点再通过四个向量的几何位置关系得到？

2.平面向量的坐标运算

2 A j -4 -2 A1

4 x o i 2 c -2 -5 d （1）若

a=(x1, y1), b=(x2, y2),则

a+b=(x1+x2, y1+y2)

（2）若

a=(x1,y1), b=(x2, y2),则a－b=(x1－x2, y1－y2)

同理可得实数与向量的积

（3）若a=(x,y)和实数λ，则λy a=（λx,λy）

A(x2,y2) B(x2,y2) 0 X

法则小结

例2、如图，已知A(x1 ,y1),B(x2, y2)，求AB. 解：AB＝OB－OA = (x2，y2）－（x1，y1）

=（

x2－x1，

y2－

y1）

重要结论

- 2 -

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

反馈练习：

已知a=（2，－1），b=（-3,4），求a+b,a-b，3a+4b的坐标。

（学生交流，校对答案）

a+b=(-1,5)，a-b=(5,-3)，3a+4b=(-6,19) 例3、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C C y 的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），

求顶点D的坐标

B 解法1、如图设D的坐标为（x,y) D ∵AB=(1,2),DC=(3-x,4-y),由AB=DC得

(1,2)= (3-x,4-y）

A 1=3-x x=2 o ∴ 2=4-y ∴ y=2 ∴ D(2,2) x

解法2、由向量加法的平行的平行四边形法则可知BD = BA + AD = BA + BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1) 而OD = OB + BD = (-1,3) + (3，-1) ∴顶点D的坐标为（2,2）

评注：解法一用向量相等的条件建立方程，渗透了方程的思想，解法二用向量加法法则，也可以选择其他两个向量求和与OD运用了数形结合的思想，

y

思考

B 已知平面上三点的坐标分别为A(－2， 1)， B(－1，3)，C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. A 当平行四边形为ABCD时，得D1(2， 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2(4， 6)，

o 当平行四边形为DACB时，得D3(－6， 0)

课堂小结

1、平面向量的坐标表示

2、平面向量的坐标运算

（向量的加、减法与数乘）

课后作业：必修四P100/1、2、3 C x - 3 -