阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质全国优秀课堂实录

第1课时

向量的数量积

学习目标

1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．

知识点一

平面向量的数量积

一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．

思考1

如何计算这个力所做的功？

思考2

力做功的大小与哪些量有关？

梳理

平面向量的数量积

(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的______(或______)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为________．

特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．

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知识点二

两个向量的夹角

思考

把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？

梳理

两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．

→→作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角．

(2)范围：________________. (3)当θ＝________时，a与b同向；当θ＝________时，a与b反向．

(4)当θ＝________时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 知识点三

平面向量数量积的几何意义

思考1

什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？

思考2

向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？

梳理

(1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影：

向量b在a方向上的投影

向量a在b方向上的投影

(3)a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与________________________________的乘积．

知识点四

平面向量数量积的性质及运算律

思考1

向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？

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|b|cos θ

|a|cos θ

思考2

非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？

梳理

(1)数量积性质

①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；

③当a⊥b时，a·b＝0；

④a·a＝|a|2或|a|＝a·a. (2)数量积的运算律

①a·b＝b·a；

②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；

③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

类型一

求两向量的数量积

例1

已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

反思与感悟

求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．

→→跟踪训练1

已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°

，则BD·CD＝________. 类型二

求向量的模

π例2

已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 3

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引申探究

若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.

反思与感悟

此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝a2，勿忘记开方．

跟踪训练2

已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．

类型三

求向量的夹角

例3

设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

反思与感悟

求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．

跟踪训练3

已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－1. (1)求a与b的夹角θ；

(2)求(a－2b)·b；

(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？

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1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________．

2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________. 3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝_____. →→→→→4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是________．

5．已知正三角形ABC的边长为1，求：

→→→→(1)AB·AC；(2)AB·BC；

→→(3)BC·AC.

1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．

2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．

3．a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分．

4．求投影有两种方法

(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. a·ba·b(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. |a||b|5．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a2.

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答案精析

问题导学

知识点一

思考1

W＝|F||s|cos θ. 思考2

与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．

梳理

(1)数量积

内积

(2)0 知识点二

思考

角．

梳理

(2)0°≤θ≤180°

(3)0°

180°

(4)90°

知识点三

→→思考1

如图所示，OA＝a，OB＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ. |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．

思考2

由投影的定义知，二者不一定相同．

梳理

(3)b在a的方向上的投影|b|cos θ

知识点四

思考1

向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．

思考2

由两个非零向量的夹角决定．

当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．

当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．

当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．

题型探究

例1

解

(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，

a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；

若a与b反向，则θ＝180°，

∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，

a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×3＝103. 2第

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3跟踪训练1

a2

2125例2

解

a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. 22|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝2525＋2×＋25＝53. 2|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2

＝2525－2×＋25＝5. 2引申探究

125解

a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，

22|2a＋b|＝2a＋b2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2

＝254×25＋4×＋25＝57. 2|a－2b|＝a－2b2＝|a|2－4a·b＋4|b|2

＝2525－4×＋4×25＝53. 2跟踪训练2

解

|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2

＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，

∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，

∴a·b＝25. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2

＝9×25＋6×25＋25＝400，

故|3a＋b|＝20. 例3

解

∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，

11∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. 22|a|＝|2m＋n|＝2m＋n2＝4×1＋1＋4m·n

＝14×1＋1＋4×＝7，

2|b|＝|2n－3m|＝2n－3m2＝4×1＋9×1－12m·n

＝14×1＋9×1－12×＝7，

2a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2

17＝－6×1＋2×1＝－. 22第

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设a与b的夹角为θ，

7－21a·b则cos θ＝＝＝－. |a||b|27×7又∵θ∈[0，π]，

2π2π∴θ＝，故a与b的夹角为. 33跟踪训练3

解

(1)∵|a|＝2|b|＝2，

∴|a|＝2，|b|＝1，

∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1，

1∴cos θ＝－，

22π又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 3(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，

∴(λa＋b)·(a－3b) ＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2

＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，

4∴λ＝. 7当堂训练

1．－2

2.1

3.11

4.－25 1115．(1)

(2)－

(3)

222

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