复习参考题教学实录及点评

高考数学专题复习：概率与统计(文科）

一、考点预测：

本章知识的高考命题热点有以下两个方面：

1、概率与统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都会出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、回归分析、独立性检验的求解.

2、预计在2018年高考中，概率与统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题. 二、要点梳理：

1、随机事件的概率：（1）随机事件；（2）频率；（3）概率；（4）互斥事件的概率加法公式：P(AB)P(A)P(B),若A与B为对立事件,则P(A)P(B)1. 2、古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A包含的基本事件个数;代入公式,求出P(A). 3、几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比. 4、三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，正确区分这三种抽样. 5、用样本估计总体:

(1)在频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形的面积之和为1; (2)理解众数、中位数及平均数；

（3）会求一组数据的平均数、方差、标准差. 6.变量间的相关关系,会求回归直线方程. 7、

两种重要的统计：

（1）独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为：

x1

x2

总计

y1

a c a+c y2

b d b+d 总计

a+b c+d a+b+c+d 若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机nadbc2变量K2的值。

Kabcdacbd，2其中n=a+b+c+d为样本容量，K的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

（2）回归分析

ˆabx。

回归直线方程y2

b=xi1nnixiyxiy2(数据较大时用)

,

其中nxi1=xi1ni1iyinxy2

(数据较小时用)

xi2nx

aybx三、典例分析及变式训练：

考点1 三种抽样方法与概率分布直方图

例

1 1有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,12内的频数为(　　)

A．18B．36C．54D．72

150、400、300名2某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这

四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生

人数为________．切入点：1抓住频数与频率的关系；N

2理解分层抽样在各层抽取的比例都相同，均为n.

解析

1频数为200120.050.020.150.1936.∶1000.2总体个数为1000，样本容量为40.所以抽样比为40

4，得在丙专业应抽取的学生人数为16.100

答案：(1)B (2)16由400

1．抓住三种抽样方法的特征，有明显差异用分层抽样，

除此之外总量大用系统抽样，总量小用随机抽样．2．分层抽样中公式运用要准确．样本容量各层样本容量.个体容量各层个体容量

2层1的数量∶层2的数量∶层3的数量1抽样比

样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．

3．对于频率分布直方图，要注意如下关系：

1每个小矩形的面积频率，小矩形面积之和1.频率每一组的频数组距；该组的频率；

2每一组的频率组距样本容量

频率之和1.

变式1.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考

试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分

布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的

学生数是______.

解析

：成绩小于60分的频率为0.0020.0060.01210

0.2，所以30000.2600.考点2.茎叶图与特征数：

例2某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示：1求甲、乙两名运动员得分的中位数；2你认为哪位运动员的成绩更稳定？3如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取

一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．(参考数据：9282102226210292466，724262321222112236)切入点：1将茎叶图的数据从小到大排序，位于中间者为中位数；2判断哪位运动员成绩稳定，其关键是比较两个特征量 3属于古典概型，可采用列举的方法．

解析-----平均数与方差的大小； 运动员甲得分的中位数为22，运动员乙得分的中位数为23.1

2因为x甲

1417152422233221，712131123273130x乙21，

72甲21142211722115221242212222123221322236s

777222222221122113211121232127213121304662

s乙77722所以

s甲s乙，从而甲运动员的成绩更稳定．3从甲、乙两位运动员的7场得分中随机抽取一场的得分的基本事件为49，其中甲的得分大于乙的得分的情况是：甲得14分时，有3场，甲得17分时，有3场，甲得15分时，有3场，甲得24分时，有4场，甲得22分时，有3场，甲得23分时，有3场，甲得32分时，有7场，共计26场．从而甲的得分大于乙的得分的概率为P26.49

变式2.某市在每年的春节后，市政府都会发动公务员

参与植树活动．为保证树苗的质量，林管部门在植树前都会对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽

测了10株树苗的高度，得到的数据如下(单位：cm )：甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46

1根据抽测结果，完成下面的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两

个统计结论；

x.将这10株树苗2设抽测的10株甲种树苗高度的平均值为的高度依次输入，按程序框图进行运算，问输出的s大小 为多少？并说明s的统计学意义．

解析

1茎叶图如下：

统计结论：

①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；

③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近；乙种树苗的高度分布较为分散．

2x27，s35.s表示10株甲树苗高度的方差，

是描述树苗高度离散程度的量．s越小，表示长得越整齐，s越大，表示长得越参差不齐．

例3 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽量之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的

3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．1求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日2若选取的是12月ˆbxa；的数据，求出y关于x的线性回归方程y3若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不

超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问2中所得的线性回归方程是否可靠？

切入点：1利用互斥事件的概率求出选出的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．1日与12月5日的两组数据代入所求线性回归方程求出值，3将12月再与23,16比较，其绝对值的差小于或等于2就可靠．

2由线性回归方程的公式，求出a、b即可．

解析

1设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组43

数据的情况有4种，所以PA1.105

2选取的数据如下表：

由计算得x12,y27.

33x

i12i111312434，xiyi112513301226977，222i1

所以bxyii13i13i3xy2xi23x977312275，434312225x3.2ˆaybx3.所以y关于x的线性回归方程为y510322，22232；25ˆ同样，当x8时，y8317，17162.

2所以，2中所得到的线性回归方程是可靠的．ˆ3当x10时，y

本题考查学生的实际应用能力和运算能力．求回归直线方程的关键是求线性回归系数，可由下面步骤求解，即分别求得x，y，x，xy，

32i3iii1i1再代入公式求出a，b.

变式3 一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年

人的脚长x与身高y进行测量，得如下数据(单位：cm)：

作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：

x24.5，y171.5，(xix)(yiy)557.5，(xix)282.5.i1i11010刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长是26.5 cm，10请你估计案发嫌疑人的身高为______________cm.

解析 用最小二乘法求得线性回归方程系数b

xi1ixyiy6.7576，ixi110x2则aybx5.9388，得回归直线方程为y6.7576x5.9388.

x26.5代入方程，得y185.0152.将

1．统计问题关键是准确运用基本知识，通过仔细审题、精确识图，灵活运用数形结合和转化与化归的思想探究问题．

2．三种抽样是获取样本的常用方法，也是高考考查的重点之一，要明确其联系与区别及其实施步骤．获取样本后，将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴涵于数据之中的规律便可直观展示，此时结合一些数字特征如平均数、方差等就可估计总体的稳定程度．因此，这一部分要掌握：“三图一线”(即频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图和总体密度曲线)和“三数一差”(众数、中位数、平均数和标准差)．

3．平均数和方差经常用于生产、生活的一些实际问题，如生产稳定性的比较等．解决这类问题主要参考这两个统计数值，一般是先比较平均数的大小，在平均数相同的条件下，再比较方差的大小，方差越小，说明数据越稳定．

1若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

2若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名

教师来自同一学校的概率．切入点：会用数组列举法列举所有事件．

解析

1甲校2男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表例4.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

示，2女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的

结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，故选出4的两名教师性别相同的概率为P.

9

1．列举是处理古典概型的基本方法．

2．列举时，要注意分清“有序”还是“无序”，按一定次序进行列举，防止重复和遗漏．采用列表、“树状图”等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法．

3．具体事件的给出常常和其他数学知识相联系，要注意联系相关知识找到相应事件的基本事件数．

变式4.在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、

5秒和40秒．当你到达路口时，求不是红灯的概率．

解析:基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的时间分别为30秒、

5秒和40秒，设它们的概率的分别为P，P，所以不是红灯的概率12，P3P1P11303031.30540755

例5.如图所示，在圆心角为直角的扇形

OAB

中，分别以

OA,OB?

为直径作两个半圆，在扇形

OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

）

2πππB11122

A. B. C.1 D.BπCOAOA

解析：如图所示，连接AB，取中点C，连接OC，由题意可知，阴影

部分的面积可转化为弓形AB的面积，令OA=2，则扇形OAB的面积1

为r42=，弓形AB的面积为-122=-2，所以所求概率2-22为P==1-。故选C



几何概型求解的关键在于确定事件构成的平面区域的面积、体积、长度等．

变式5.在区间0，9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式x1log22的概率为（ ）

2．对古典概型，要会用枚举法，借助表格、树形图等写出所有的基本事件和所

求古典概型的一般方法和步骤如下：

1判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件．2计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.3计算事件A的概率PAm.n求事件包含的基本事件．1．对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型的概率问题，再套用公式解决．

3

．对几何概型，要根据题意判断是直线型、面积型、体积型还是角度型．判断的关键是看它是否是等可能的，也就是点是否是均匀分布的．求解的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形

的几何度量来求随机事件的概率．4

．要注意古典概型、几何概型与其他知识的联系，根据问题特点，联想相关知识，找到所求事件满足的条件．

甲班

乙班

合计

例6有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表.优秀

10

非优秀

30

总计

105

2

7.已知在两班共105人中随机抽取1人为优秀的概率为1请完成上面的列联表；2

根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；3若按下面的方法从甲班优秀学生中抽一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取的人的序号，nadbc2试求抽到6号或10号的概率．参考公式：k，abcdacbd

其中nabcd； P(K≥k0) k0 20.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635

1根据随机事件的概率可确定优秀学生的人数，从而完成列联表．2计算随机变量K2的观察值k，再与k的临界值k0比较作出结论．

3采用列举的方法进行求解．切入点：

1设优秀的学生人数为x，则解析人数为

20，由此可填表如下：优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105 x2210，所以x30，故乙班优秀的学生10577

甲班 乙班 合计 1051030204526.1093.841.2根据列联表中的数据，得到k55503075

因此，有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．3设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现

的点数为(x，y)，所有基本事件有1,1，，1,2，1,3，6,6，共36个．

而事件A包含的基本事件有：1,5，2,4，3,3，4,2，5,1，4,6，5,5，6,4，共

8个．所以PA82.369

1．

可以用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：根据观察数据计算，由

knadbc2得出随机变量K2的观测值，其值越大，说明“两个abcdacbd变量有关系”成立的可能性越大．

2．本题是概率与统计的综合问题，主要考查随机事件的概率、22列联表、独立性检验、古典概型等基础知识．这要求我们注意知识之间的相互联系，提高综合运用能力．

变式6.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰

2为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.

51试确定a、b的值；为中等或中等以上的概率．

2从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力

解析 1由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有10a人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力

10a2为中等或中等以上”为事件A，则PA，解得a6.

405因为32ab40，所以b2.答：a的值为6，b的值为2.

2由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等

以上的学生有11b人，由1知，b2，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉

记忆能力为中等或中等以上的学生共有13人．记“听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件B，

则PB13.40

答：听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为13.40

解决综合问题要注意加强审题训练，理清知识之间的相互联系，找到知识的“交汇点”，从而将问题进行转化，达到解决问题的目的．

四、课后反馈：大本22页（考点一、考点二）

五、课后反思：