2.1.2 向量的几何表示教学评价实录

§2.2

平面向量的线性运算

2．2.1

向量加法运算及其几何意义

课时目标

1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．

1．向量的加法法则

(1)三角形法则

→→如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量________→→叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝AB＋BC＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法则

→→如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝______________. (2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.

一、选择题

1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(

) A．向东南航行2 km

B．向东南航行2 km C．向东北航行2 km

D．向东北航行2 km 2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(

) →→→→A.AB＝CD，BC＝AD

→→→B.AD＋OD＝DA

→→→→C.AO＋OD＝AC＋CD

→→→→D.AB＋BC＋CD＝DA

→→→3．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则(

) A．四边形ABCD一定是矩形

B．四边形ABCD一定是菱形

C．四边形ABCD一定是正方形

D．四边形ABCD一定是平行四边形

4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(

) A．a∥b，且a与b方向相同

B．a，b是共线向量且方向相反

C．a＝b

D．a，b无论什么关系均可

→→→5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA等于(

) →→A. BD

B. DB

→→C. BC

D. CB

→→→6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于(

) A．1

B．2 C．3

D．23 1

题

号

答

案

二、填空题

2

3

4

5

6

→→→→7．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________. →→→8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB＋BC＋AC的模等于________．

9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．

10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式

→→(1)DE＋EA＝________；

→→→(2)BE＋AB＋EA＝________；

→→→(3)DE＋CB＋EC＝________；

→→→→(4)BA＋DB＋EC＋AE＝________.

三、解答题

11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF. 求证：四边形AECF是平行四边形．

能力提升

→→→13．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝______. 14．在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

§2.2

平面向量的线性运算

2．2.1 向量加法运算及其几何意义

答案

知识梳理

→→→1．(1)AC

a＋b

AC

0

a

a

(2)OA

OB

平行四边形

OC

2．(1)b＋a

(2)a＋(b＋c) 作业设计

1．A

2.C

3.D

4.A →→→→→→→→5．C

[BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.] →→→→→→→6．B

[|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.] 7．0 →→→→解析

注意DC＋BA＝0，BC＋DA＝0. 8．213 →→→→→解析

|AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝213. 9．8 解析

∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8. ∴|a＋b|的最大值为8. →→→10．(1)DA

(2)0

(3)DB

(4)DC

11．解

→→→如图所示，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC表示船实际航→行的速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5 (km/h)．

∵四边形OACB为矩形，

→→|AC||OB|→→∴|OA|＝＝53 (km/h)，|OC|＝＝10 (km/h)，

tan 30°sin 30°∴水流速度大小为53 km/h，船实际速度为10 km/h. →→→→→→→→12．证明

AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，→→→→因为FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE，

→→所以AE＝FC，即AE与FC平行且相等，

所以四边形AECF是平行四边形．

13．0

解析

如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，

→→→→→则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，

→→→∴GA＋GB＋GC＝0. 14．解

→→→如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD即表示船航4 33→→行的速度．因为|AB|＝4 3，|AC|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，

123即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. →所以|AD|＝8 3，∠BAD＝120°. 即船航行的速度大小为8 3 km/h，方向与水流方向所成角为120°.