2.3.1 变量之间的相关关系优质课教案整理

2.3.1

变量间的相关关系

2.3.2

两个变量的线性相关

三维目标

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系

教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；

导入新课

我们生活在一个数字时代，时刻都在与数据打交道，例如，产品的合格率、商品的销售量、当地的气温、就业状况、电视台的收视率等，我们也享受到大数据时代信息技术发展给我们带来的生活便捷，例如出门旅游，我们可事先在网上订购往返机票车票、住宿酒店，在互联网上提取所要的信息，是什么促进这个时代突飞猛进的发展？是人类测量、记录和分析世界的渴望，而现实世界很多东西是未知的或着是还没有发生的，我们就通过采集数据样本，分析样本的分布和特征数来估计总体的分布和特征，前面我们已经学习了常用的抽样的方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，分析样本的分布方法有频

率分布表和频率分布直观图，反映样本特征的特征数有众数、中位数、平均数、方差、标准差，但是要很好的把握总体情况这些还远不够，因为影响总体的因素往往不是一个量，可能是两个、三个甚至多个量，所以我们还想知道哪个量对总体的影响较大。

我们常听老师这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系.这种说法有没有道理呢? 学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,动手能力的高低、用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.利用这个关系我们可以通过数学成绩对物理成绩进行合理估计。）这种现象在我们生活中普遍存在吗？能否举出实例来？“名师出高徒”“粮食产量与施肥量”“商品销售收入与广告支出经费”

例1 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟

是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引

起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.

解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的. 点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现之间关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种关系的本质原因是什么.（本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题）

现实生活中这样的相关关系的问题有许多，问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法，在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断. 今天我们就来学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题) 提出问题

（1）什么是两个变量间的相关关系？

相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系。

两个变量之间的关系分两类：

①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；

②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系. 如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）

（2）函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？

函数关系中的两个变量间是一种确定性的关系；相关关系是一种非确定性关系；

函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是一种伴随关系。

例2 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________. ①正方形的边长与面积之间的关系

②水稻产量与施肥量之间的关系

③人的身高与年龄之间的关系

④降雪量与交通事故的发生率之间的关系

⑤匀速直线运动中时间与路程的关系

解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系、⑤匀速直线运动中时间与路

程的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④. 答案：②④

（3）如何来研究这种变量间的相关关系？

出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：

年龄

脂肪

年龄

脂肪

23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 38 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

在这个问题中，我们研究的重点是年龄对人体脂肪含量的影响，对于某个人来说，他的体内脂肪不一定随着年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在起，这时就可能表现出一定的规律性。

分析表格数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加. 但表格呈现的还不够直观，为了确定这一关系的细节，还想借助图象直观直现出这两个量的关系来。以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，在直角坐标系中描出样本数据对应的图形。

散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图

看图发现：

1、从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.

图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论。

2、这些点散步的位置也是值得注意的，它们散布在从左下角到右上角的区域，呈上升的走势。

正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）

3、从散点图上可以发现,这些点大致分布在一条直线附近，找到(x,y)对应的点，该点在些直线上。

(x,y)对应的点我们称为散点图中心

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

如果能够求出这条回归直线的方程，那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的关系性，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表，如何具体求出这个回归方程呢？我们交给下节课来完成。

知能训练

一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：

零件数x10 （个）

加工时间62 y(min)

画出散点图；

关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？

答案：（1）散点图如下：

68 75 81 89 95 102 108 115 122 20 30 40 50 60 70 80 90 100

（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．

学生练习散点图，找两个变量之间的关系

1． 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度/℃

热饮杯数

156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）画出散点图；

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律。

解：（1）散点图如下图所示：

-5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36

（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少，从散点图还可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，呈线性相关

。

2.

以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

房屋面积（m2）

销售价格（万元）

（1）画出数据对应的散点图；

（2）指出是正相关还是负相关; （3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？

解：（1）数据对应的散点图如下图所示：

115 24.8 110 21.6 80 18.4 135 29.2 105 22

（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关. （3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系.

老师点评：

a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．

b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.

c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）

学生课堂小结：

（1）两个变量间的相关关系

(2)两个变量间的相关关系的判断：

①散点图

②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系

③正相关、负相关的概念

（3）线性相关关系、回归直线、散点图中心(x,y)

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 作业