复习参考题板书设计及设计说明

3.3.1 辅助角公式及其应用

一．复习引入

同学们，我们前面学习了三角恒等变换的和角正弦公式、差角的余弦公式，现在我们一起温故一下：

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

请同学们根据公式做一下下面几道题目：

（1）sinx123cosxcossinxsincosxsin(x)

233322sinxcosx)2sin(x)

2243cosx)2sin(x)

23（2）2sinx2cosx2(12（3）sinx3cosx2(sinx（同学们做的很好，但如果给出来的是asinxbcosx(ab0),这时候我们还能对它进行化简么？如果能，那又该如何去化简呢？这就是我们这节课要探讨的内容，这节课我们来学习一下辅助角公式及其应用。）

二、新课讲解

请同学们思考一下：上面三道题目中，结果的系数和题目给出来的两个函数的系数有什么关系呢？

13(1)()2()2122

（学生思考一分钟后回答）：(2)(2)2(2)22

(3)12(3)22教师总结：这位同学的观察的很细致，通过观察，我们取出来的那个

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数等于原来那两个数的平方和的算术平方根。那利用这种办法，我们能否化简asinxbcosx(ab0),请大家动手做一下。

学生动手后，教师请某个学生尝试一下：

asinxbcoxsa2b2(aab22sinxbab22coxs)

（学生做完这一步后，教师设问）：

如果存在一个角，使得cos则上式就能变为：

asinxbcosxa2b2(cossinxsincosx)a2b2sin(x).

aab22，sinbab22，

现在的问题就是是否存在，使得cosaab22，sinbab22，

（学生思考，教师引导后）请某个学生来回答一下：因为

a2b2cossin1且()()21，

22222ababab22a2b2所以一定存在，使得上式是成立的。

由此，我们得到结论：

asinxbcosxa2b2sin(x).()

其中由cosaab22，sinbab22确定。

以后我们就把()式都叫做辅助角公式。

在()式中，我们能得到tan。

教师提问：辅助角公式是否还有其他形式呢？

asinxbcosxa2b2cos(x)是否成立呢？请同学们课后思考一下。ba

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三、讲解例题，加深理解

02

例：将下列式子化简成Asin(x)的形式，并求最值。其中A0，（1）3sinx4cosx

（2）5sin2x12cos2x

解：（1）3sinx4cosx3242sin(x)5sin(x)所以3sinx4cosx的最大值是5，最小值是-5(2)5sin2x-12cos2x52122sin(2x)13sin(2x)所以5sin2x-12cos2x的最大值是13，最小值是13

教师总结：从例题1我们可知，有时候，我们并不需要求出的值我们也能求出最值的。

例题2：（06高考）已知函数:f(x)sin2xsin(2x). 41.求f(x)的最小正周期；

2.求f(x)的的最大值和最小值；

3.该函数图象可由f(x)sinx的图像通过怎样的变化

得来。解：f(x)sin2xsin(2x221.f(x)

的最小正周期T22.当sin(2x当sin(2x)sin2xsin2xcos2cos2xsin2sin2xcos2x2sin(2x4)4)1时，f(x)最大，fmax(x)212.43.可将函数f(x)sinx的图像进行如下变换：)1时，f(x)最小，fmin(x)2(1)2（1）可将f(x)sinx的图像向左平移个单位，得到f(x）sin(x)的图像。44（2）将（1）的图像每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍,得到f(x）2sin(x4)的图像。1（3）将（2）的图像每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，2得到f(x)2sin(2x4)的图像。通过这道题目，我们可以看到，辅助角公式在求函数的周期和最值以

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及图象变换方面都有应用。当然，辅助角公式的应用还有很多，这个留着以后你们做练习的时候慢慢去体会。

四．练习巩固，加深记忆

1.将下列式子化成Asin(x)或者Acos(x)的形式，

其中A0,02.

(1)sinx2cosx

(2)2cosx2sinx2. 已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，

（1）求f(x)的周期

（2）求f(x)的最值

（3）求f(x)的增区间

五．小结

通过这节课的学习，我们了解了两方面的内容：

（1）

什么是辅助角公式？

asinxbcosxa2b2sin(x).其中tanb

a（2）

辅助角公式的应用有哪些呢？

辅助角在求周期，求最值，图像变换，求增减区间方面都有应用。

六．作业

1.证明：asinxbcosxa2b2cos(x)

2.课本142页第4题（2）(3).

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