测试课时教案

数学人教八年级下第十七章勾股定理单元检测

一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（

）

A. 6，7，8 【答案】D 【解析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可, A、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；

B、52+62≠72，不能构成直角三角形，故错误；

C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故错误；

D、52=32+42，能构成直角三角形，故正确．

故选D．

2.在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为(

). A. 4cm

【答案】A 【解析】

【分析】

在直角三角形中，利用勾股定理即可求出另一条直角边．

【详解】∵一个直角三角形中，斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，∴根据勾股定理得：另一条直角边为故选A．

【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．

3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(

) A. 仍是直角三角形

C. 可能是钝角三角形

B. 可能是锐角三角形

D. 不可能是直角三角形

4cm．

B. 4cm或

C.

D. 不存在

B. 5，6，7 C. 4，5，6 D. 3，4，5

【答案】A 【解析】

【分析】

222设直角三角形的三边长分别为a、b、c（斜边），由勾股定理得a+b=c，三边都扩大k倍，三边为ka，kb，kc进一步勾股定理的逆定理得出结论即可．

222【详解】设直角三角形的三边长分别为a、b、c（斜边），由勾股定理得：a+b=c，三边都22222222扩大k倍，为ka，kb，kc，而（ka）+（kb）=k（a+b），（kc）=kc；

22222∴k（a+b）=kc，所以直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是直角三角形．

故选A．

【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用．

4.下列命题中是假命题的是(

) A. △ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC是直角三角形

2B. △ABC中，若a＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形

C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形

D. △ABC中，若a∶b∶c＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形

【答案】C 【解析】

【分析】

有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．

【详解】解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．

222B、若a2=（b+c）（b-c），所以a+c=b，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．

C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．

D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．

5.在△ABC中，A. 等腰三角形

角三角形

【答案】D 【解析】

【分析】

，那么△ABC是（ ）．

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可．

【详解】∵a：b：c=1：1：设三边长为a,a,∵

，∴三角形ABC是直角三角形．

，∴三角形ABC是等腰三角形．

综上所述：△ABC是等腰直角三角形．

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此题关键是利用勾股定理的逆定理解答．

6.下列命题的逆命题是真命题的是(

)．

A. 若a＝b，则|a|＝|b|

C. 若a＝0，则ab＝0

形

【答案】D 【解析】

【分析】

先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据有理数的性质、绝对值的意义和全等三角形的判定进行判断．

【详解】A．若a=b，则|a|=|b|的逆命题为若|a|=|b|，则a=b，此逆命题为假命题，所以A选项错误；

B．全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以B选项错误；

C．若a=0，则ab=0的逆命题为若ab=0，则a=0，此逆命题为假命题，所以C选项错误；

B. 全等三角形的周长相等

D. 有两边相等的三角形是等腰三角

D．有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形是有两边相等的三角形，所以D选项正确．

故选D．

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

227.三角形的三边a，b，c满足(a＋b)－c＝2ab，则此三角形是(

)．

A. 锐角三角形

角形

【答案】B 【解析】

【分析】

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 等边三222化简等式，可得a+b=c，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．

222222(a＋b)2－c2=2ab，【详解】即a+b+2ab－c=2ab，所以a+b=c，所以三角形为直角三角形．

故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，需熟练掌握勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．

直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(

) 8.如图，

A. 4

【答案】B 【解析】

∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，

∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，

∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE. B. 6

C. 16

D. 55

∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，

b的面积＝a的面积＋c的面积，∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝5＋11＝16.故选C. 【此处有视频，请去附件查看】

二、填空题(每小题4分，共20分) 一棵树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有__________9.如图，米高．

【答案】8 【解析】

【分析】

图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．

22【详解】∵3+4=25，5，5+3=8（米），∴树折断之前的高度为8米．

故答案为：8．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题的关键．

10. 命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是________，它是________命题．

【答案】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；真

【解析】

把原命题的结论作为题设，把题设作为结论可得到原命题的逆命题，易知此命题为真命题．

11.如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，请写出a，b，c之间的一个等量关系为__________．

【答案】c＝a＋b

【解析】

【分析】

连接BE，由四边形ABCD为矩形可以得出AD∥BC，就有∠DEF=∠BFE，根据轴对称就可以得出△A'B'E≌△ABE，△B'EF≌△BEF，就可以得出B'E=BE，B'F=BF，∠B'FE=∠BFE，就可以得出∠B'FE=∠B'EF，就有B'E=B'F，就有B'E=BF，由勾股定理即可得出结论．

222【详解】c=a+b．理由：连接BE．

222∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE．

∵△A'B'E与△ABE，△B'EF与△BEF关于EF成轴对称，∴△A'B'E≌△ABE，△B'EF≌△BEF，B'F=BF，AE=A'E，A'B'=AB，∴B'E=BE，∠B'FE=∠BFE，∠A=∠A'=90°，∴∠B'EF=∠B'FE，∴B'E=B'F，∴B'E=BF．

∵AE=a，AB=b，BF=c，∴A'E=a，A'B'=b，B'E=c．

222∵∠A'=90°，∴c=a+b．

【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，解答时根据轴对称性质得出三角形全等是关键．

12.在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．

【答案】

【解析】

【分析】

根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

【详解】两棵树的高度差为AE=AB﹣CD=6﹣2=4（米），间距EC为5米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离AC故答案为：．

（米）．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．

13.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.

【答案】25 【解析】

【分析】

先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．

【详解】如图所示．

∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

22x2=202+[设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：（2+3）×3]=25，解得：

x=25．

故答案为：25．

【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．

三、解答题(共56分) 14.如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．

【答案】A，B两点间的距离是30 m. 【解析】

【分析】

△ABC是直角三角形，根据勾股定理解答即可．

【详解】由图可知，三角形ABC是直角三角形．

∵CA=50m，CB=40m，∴AB答：A，B两点间的距离是30 m．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

15.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m,这辆小汽车超速了吗? 30（m）．

【答案】由题意得AC="30m " AB=50m

∵∠ACB=90°

∴BC=

∴小车行驶速度为40÷2=20米/秒

即为20×3600=72千米/小时

∵72千米/小时＞70千米/小时

∴这辆小车超速了。

【解析】

【分析】

（1）由题意知，△ABC为直角三角形，且AB是斜边，已知AB，AC根据勾股定理可以求BC；

（2）根据BC的长度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度，若速度大于70千米/时，则小汽车超速；若速度小于70千米/时，则小汽车没有超速．

【详解】解：（1）由题意知，AB=130米，AC=50米，

且在Rt△ABC中，AB是斜边，

222根据勾股定理AB=BC+AC，

可以求得：BC=120米=0.12千米，

（2）∵6秒=小时，

∴速度为=72千米/小时，

故该小汽车超速．

答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/小时．

【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，在计算速度时要注意单位的统一.

16.如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．

【答案】△CMN是直角三角形，理由详见解析．

【解析】

【分析】

由已知可求得AM，AN的长，根据勾股定理可求出MN的长，同理可得MC，NC的长，根据勾股定理的逆定理可知三角形CMN是直角三角形．

【详解】猜想：△CMN是直角三角形．理由如下：

设正方形ABCD的边长为4a，则AM=2a，AN=a，DN=3a．

222222在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN=5a．同理可得：CN=25a，CM=20a．

222所以MN＋CM=CN．

所以△CMN是直角三角形．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质及勾股定理的逆定理，正方形的性质．设出正方形ABCD的边长是解题的关键．

17. [问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

[定理表述]请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．

[尝试证明]以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图(2))，请你利用图(2)验证勾股定理．

[知识拓展]利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明∵BC＝a＋b，AD＝________，

又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填大小关系)，即________，

∴．

．其证明步骤如下：

【答案】见解析

【解析】

[定理表述]如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．

[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC．

又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，

∴∠AED＝90°．

∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，

∴整理，得a2＋b2＝c2．

[知识拓展]；＜；

，

18.如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．

(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：

①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；

②正方形ABCD的面积．

(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？

【答案】（1）①S△ABQ＝6，

S△BCM＝6，

S△CDN＝6，

S△ADP＝6；②S正方形ABCD＝25；（2）验证了勾股定理，证明过程详见解析. 【解析】

【分析】

（1）①根据直角三角形的面积公式即可得出结果；

②由题意得出S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ，即可得出结果；

（2）显然根据面积能够验证勾股定理．

【详解】（1）①∵网格中每个小正方形的边长为1，由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°，∴S△ABQAQ•BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．

2②∵MQ=7，∴S正方形MNPQ=7=49，∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．

（2）验证勾股定理．

验证：在△BCM和△ABQ中，∵BM=AQ，∠M=∠Q，CM=BQ，∴△BCM≌△ABQ（SAS），同理△CDN≌△DAP≌△BCM．

∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ

22∴AB=（a+b）﹣4ab，即AB2=a2+b2．

222设AB=c，得：c=a+b（勾股定理）．

【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及面积的计算、三角形面积的计算；掌握正方形和三角形面积的计算方法是解决问题的关键．