二次根式应用教学设计内容推荐

《二次根式应用》骨架式教学设计（2课时）

设计教师：朱

勇

【教学内容】

义务教育教科书，人教版数学八年级下册P71§19 二次根式. 【教学目标】

1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则；会用二次根式的意义的条件和性质进行求取值范围化简和运算；会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题. 2.通过自主探究，归纳，小组合作梳理本章所学内容，形成全章知识体系，培养学生归纳和概括能力．

3.通过本章的复习，进一步向学生渗透数学转化、分类讨论和类比等数学思想方法．

【教学重点】

梳理全章知识重点，形成二次根式知识体系. 【教学难点】

运用二次根式的性质进行化简和运算. 【活动设计】

一、创设情境

导入课题 课前三分钟媒体播放班级活动剪影……

预备铃响起、教师组织同学们饱含情感的朗读《青春》选段: 青春不是年华，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想象、炽热的感情；青春是生命的深泉在涌流.

青春气贯长虹，勇锐盖过怯弱，进取压倒苟安.如此锐气，二十后生有之，六旬男子则更多见.年岁有加，并非垂老；理想丢弃，方堕暮年.岁月悠悠，衰微只及肌肤；热忱抛却，颓唐心至灵魂.忧烦、惶恐、丧失自信，定使心灵扭曲，意气如灰.（教师用媒体呈现）

教师朗读：

人人心中皆有一台天线，只要你从天上人间接受美好、希望、欢乐、勇气和力量的信号，你无不青春永驻、风华长存！

《青春》塞缪尔·厄尔曼（德国）

教师：同学们，青春除了享受，还更应该有勇气、进取、和奋斗……

（本堂课是复习课，不像新课那样有新意，因此设计了班级活动剪影的视频播放和一段诗歌选段朗诵，一是渲染课堂氛围，二是渗透数学课堂德育功能和文化内涵！）

教师开门见山指出本堂课开始我们全面进入期末复习阶段，期末复习该怎么进行？同学们怎么利用有限的时间提高期末复习效果？这节课老师以二次根式的复习为蓝本，抛砖引玉给大家一些复习的建议作为参考. 教师黑板板书课题“§二次根式专题复习”

二、思考交流

探究复习

活动一

做（提前印制，人手一份） 教师组织学生独立完成“做”的部分，边做边思考这些题目的考点是什么？

1.下列式子是二次根式的是（ ）

A.3 B.m(m0) C.x D.32

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答案：B 考点：二次根式的概念

2.二次根式x3有意义的条件是（ ）

A.x≤3 B.x<3 C.x≥3 D.x>3 答案：C 考点：二次根式有意义的条件

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）

A.16a； B.3b

； C. 答案：B 考点：最简二次根式

4.在下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）

A.4； B.6

； C.12 D.18

答案：D 考点：同类二次根式

5. 下面计算正确的是（ ） A.3333 B.2733 C.235 D.(2)22

答案：B 考点：二次根式性质及加减、乘除运算

6. 若(x3)23x，则x的取值范围是（ ） A．x3 B.x3 C.x3 D.x3

答案：D 考点：二次根式性质

7.

已知x,y为实数，且x13y20，则xy________. 答案：1 考点：二次根式的非负性

8.

若1x2，则化简22b D.45

ax222x1=________. 答案：x1 考点：二次根式化简

教师组织学生，先独立完成，完成后组织学生大声整齐的说出答案，教师根据回答情况有针对性点评；点评结束引导学生逐一批注每个试题的考点，以促进学生积极主动的学习数学，培养学生个性化学习习惯，提高学生自主学习能力. 活动二

忆

提问1：本章还有那些知识点呢？你能梳理出来吗？

教师点拨：一般来说，我们有这样一些知识整理的方法：图表式归纳、对比式归纳、要点式归纳、问题式归纳（适合文科）、骨架式归纳（适合理科）、思维导图……

本堂课教师结合教材和笔记本以框架式归纳法对本章知识点进行梳理，并且给大家简单介绍思维导图.(本环节教师引导学生体会整理知识的重要性：提高能第

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力、提高效率、巩固知识.并鼓励优尖生在学有余力的前提下尝试画思维导图). 教师引导学生按二次根式的概念、性质、运算三个方面就行梳理.明确提出要求：请同学们查阅相关学习资料，先独立尝试完成完成下图中知识框架，（教师给予充分的时间让学生完成）完成后组内交流，完善知识框架. 《二次根式》全章知识框架

二次根式概念：二次根式有意义的条件：概念最简二次根式：同类二次根式：常见含有非负性的式子：a20，a0，a0

1.a0(a0)

二次根式性质2.(a)2a(a0)a(a0)3.a2a0(a0)a(a0)乘法：ababaa除法：乘法法则推广：x1x2x3……xnx1x2x3……xn

运算bb加减(合并同类二次根式)：一相加，两不变.混合运算：组内交流结束，教师一边在黑板板书，一边对各知识点进行点拨：

①二次根式的概念是在形式上界定的“形如a（a≥0）的式子”，同时具备两个特征，（1）带二次根号“”；被开方数是非负数.数学当中还有很多像这样的定义方式，例如：形如axb0(a0)的方程叫一元一次方程，形如ykxb(k0)的函数叫一次函数……；

②人教版教材是这样定义最简二次根式的“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.”→“（1）开放要开尽；（2）分母里面没根号，根号里边没分母(特别注意被开方数是小数时)”；

③常见含有非负性的式子：a20，a0，a0，拓展：a2n0，2na0, 非负性主要考察有限个非负数的和为零，则每个非负数都为零；

④将公式(a)2a(a0)是指一个非负数的算术根的平方等于本身，如果公式逆用，即a(a)2(a0)，就可以把一个非负数写成一个数平方的形式; ⑤化简形如a2的式子时，先转化为a的形式，再根据a的正负去掉绝对值符号. 第

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⑥(a)2与a2是不一样的，一个先开方后平方，另一个先平方后开放，结果不一定相等，a2(a)2的前提是a0；

⑦乘法法则推广：x1x2x3……xnx1x2x3……xn；

⑧除法运算方法大多时候不唯一，计算中可以把被开方数先相除，也可以先开方后再除，还可以把除法转化为乘法计算，如2727273393或33333或271327333；

333aa(a0,b0)，常用bb⑨乘除运算法则的逆用，abab(a0,b0),来化简二次根式，但注意公式能利用的前提条件，如果没有这个前提则公式应变为abab,abab. ⑩二次根式混合运算严格按照运算顺序进行,运算顺序和实数运算顺序完全相同，先乘方、再乘除、最后加减、有括号先去括号；同时二次根式混合运算中乘法公式依然实用.化简→判断→合并. 教师组织学生相互交流，讲一讲，说一说！

刚才我们是利用框架式归纳知识点，这里我简单介绍思维导图（它是表达发散性思维的有效的图形思维工具

，简单却又极其有效，将抽象，繁琐的知识结构形象化），并利用媒体超链接MindMapper思维导图软件展示两二次根式的知识思维导图的形成.引导部分优生在未来的复习当中学会画思维导图或学会实用思维导图，同时利用数学课堂渗透学科科学素养.

如果我们要站在更高的角度看二次根式，那二次根式其实是代数式无理式中的一类. 第

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单项式整式有理式多项式代数式

分式无理式二次根式…… 到这个地方我们已经对二次根式的整个骨架和知识点有了巩固，整合这些知识点以最快速度完成“议”的例1和例2. 活动三

议

例1：下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？①③35；④3x2；⑤a22a1；⑥1；②144；2x100；⑦a1(a1). 解：是二次根式的有：①④⑤⑥⑧

不是二次根式有：

②（被开放式小于0）；

③（根指数为3，不可能是二次根式）；

⑦（a1,a10，被开方数为负数）. 考点：二次根式的概念

（例1“面向全体学生”，教师组织学生，先独立的做，最后组织学生大声整齐的说出答案.教师根据学生回答问题整齐度判断哪些需要点拨，预测本题做的情况应该很好！）

例2：求下列二次根式中字母的取值范围：

（1）当 时，5a有意义；

（2）当 时，2x3有意义；

（3）当 时，2有意义；

1a （4）当 时，x11有意义.

x2解：（1）∵5a≥0,∴a≥0,当a≥0时，5a有意义. 33 （2）∵2x3≥0,∴x≥,∴当x≥时，2x3有意义. 222 （3）∵1a>0,∴a<1,∴当a<1时，有意义. 1a1x10x5 （4）∵,∴x1,∴当x1时，有意义. x203x考点：二次根式有意义的条件

通过例2使学生强化二次根式有意义的条件，判断学生对此知识点的掌握情况. 第

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例3：计算：（1）(1220)(3132 5) （2）2124332

42 解：原式=23+25+3-5 解：原式=43 =33+5 =32

2 （3）(2533)(2533) （4）(252)2

2222

解：原式=解：原式=

（25）（33）（25）2252（2） =2027 =204102

=3 =22410

考点：二次根式的化简、同类二次根式、二次根式的性质、二次根式的运算

教师点拨（3）（4）可用乘法公式，组织两个学生（一男，一女）黑板上书写，在学生的书写中点评；通过二次根式的计算，引导学生强化二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.

例4：已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：a2|ac|(cb)2|b|

解：由图可知：a0，ac0，cb0，b0

∴原式=aaccbb

=aacbcb

=0 活动三

悟

本堂课学到了什么，感悟到了什么？

引导学生说说本节知识点，形成本节课的知识体系，强调两个性质的区别， 及使用的注意事项. 本章主要知识点：

1.二次根式的概念；

2.二次根式有意义的条件：

①被开方数不小于零；

②分母中有字母时,要保证分母不为零；

3.二次根式的三条性质：

①二次根式的双重非负性

②(a)2a（隐含了a0）

③a2a

4.二次根式相关运算. 第

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三、拓展延伸

自我升华

活动四

拓

已知a、b、c满足(a8)2b5c320.求：

（1）a、b、c的值；

（2）试问：以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由. 解：（1）∵(a8)20，b50，c320

且(a8)2b5c320

∴(a8)20，b50，c320

∴a80，b50，c320

即a22，b5，c32

（2）∵2232525

∴能构成三角形

∴三角形的周长=22325525

四、板书设计

§二次根式复习

一、知识储备

二次根式概念：二次根式有意义的条件：概念最简二次根式的两个条件：同类二次根式：1.a0(a0)二次根式性质2.(a)2a(a0)a(a0)3.a2a0(a0)a(a0)乘法：ababaa运算除法：bb加减(合并同类二次根式)：一相加，两不变.典例分析：

学生板书：

PPT

二、思想方法：转化，类比

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