习题教学教案设计

第二章匀速圆周运动章末复习

一、汽车过拱形桥

受力

分析

牛顿第

二定律

牛顿第

三定律

讨论

v2mg－N＝m

Rv2F压＝N＝mg－m

Rv增大，F压减小；当v增大到gR时，F压＝0

说明

二、“旋转秋千”

“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图2-3-1所示。

v2N－mg＝m

Rv2F压＝N＝mg＋m

Rv增大，F压增大

汽车过凸桥

汽车过凹桥

汽车过凸桥速度0≤vgR时，汽车将脱离桥面，发生危险

图2-3-1 1．向心力来源

物体做匀速圆周运动的向心力由物体所受的重力和悬线对它的拉力的合力提供。

2．动力学关系

mgtan_α＝mω2r，又r＝lsin_α，则ω＝g，周期T＝2π lcos αlcos αg，所以cos α＝g，由此可知，α角度与角速度ω和绳长l

有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，ω2lα越大。

三、火车转弯

第

1 页

共

18 页

1．运动特点

火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。

2．向心力来源

在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供。如图2-3-2所示。

图2-3-2 四、离心运动

1．定义

物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。

2．原因

合外力提供的向心力消失或不足。

3．应用

(1)离心机械：利用离心运动的机械。

(2)应用：洗衣机的脱水筒；科研生产中的离心机。

1．自主思考——判一判

(1)汽车行驶至凸形桥顶时，对桥面的压力等于车的重力。(×) (2)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车的重力。(√) (3)汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。(×) (4)“旋转秋千”的缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的体重无关。(√) (5)做离心运动的物体一定不受外力作用。(×) (6)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。(×) 2．合作探究——议一议

(1)如果汽车过凸形桥桥顶的速度v＝gR，此后汽车做什么运动？汽车还能落在半圆柱形桥面上吗？

提示：汽车过桥顶的速度达到v＝gR，汽车将做平抛运动，落到地面时s＝vt＝v＝2R＞R，故汽车不会落在半圆柱形桥面上。

(2)除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？

第

2 页

共

18 页

2Rg

提示：有些道路具有外高内低的特点是为了利用弯道的支持力与车辆重力的合力提供向心力，进而提高车辆的转弯速度，因此一些赛车项目的赛道的弯道要做得外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，高速公路的拐弯处等。

(3)雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出，你能说出其中的原因吗？

图2-3-3 提示：旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。

火车转弯问题分析

1．转弯时的圆周平面

火车做圆周运动的圆周平面是水平面，火车的向心加速度和向心力均是沿水平方向指向圆心。

2．规定速度大小

设轨道间距为L，两轨道高度差为h，转弯半径为R，火车质量为M。根据三角形知识hF可得，sin α＝L，由火车的受力情况可得：tan α＝Mg。因为α角很小，所以sin α≈tan α，Mv02hFh故＝，所以向心力F＝·Mg。又因为F＝，所以车速v0＝

LMgLRghR。由于火车轨L道建成后，h、L、R各量是确定的，所以火车转弯时的车速应当是一个定值。

图2-3-4 3．当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：

第

3 页

共

18 页

(1)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力。

(2)当火车行驶速度v

[典例]

有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小；

(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。

[思路点拨]

解答本题时应注意以下两个方面：

(1)内外轨一样高时，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯的向心力。

(2)火车通过弯道所受侧向压力为零时，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。

v2[解析]

(1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝mr＝105×202

N＝105 N。

400由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。

(2)火车的重力和铁轨对火车的弹力的合力提供向心力，如图所示，

v2则mgtan θ＝m

rv2由此可得tan θ＝rg＝0.1。

[答案]

(1)105 N

(2)0.1

火车转弯问题的两点注意

(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。

1．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正第

4 页

共

18 页

确的是(

) A．v一定时，r越小则要求h越大

B．v一定时，r越大则要求h越大

C．r一定时，v越小则要求h越大

D．r一定时，v越大则要求h越大

v2v2解析：选AD

设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝；rgr2hhv又因为tan θ≈sin θ＝L，所以L＝gr。可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确。

2．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这就可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g取10 m/s2。

(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；

(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度。

解析：(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，在水平面内做圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，则有

v02mgtan

θ＝mr

所以v0＝grtan θ＝20 m/s

(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示。将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有

v2水平方向fcos θ＋Nsin θ＝m①

r竖直方向fsin θ＋mg＝Ncos θ②

且f＝μN③

v2tan θ＋μ由以上三式可解得mr＝·mg

1－μtan θ代入数据得v＝155 m/s 答案：(1)20 m/s

(2)155 m/s 对离心运动的理解

第

5 页

共

18 页

1．离心运动的实质

离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线方向飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来。一旦作为向心力的合外力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。

2．离心运动的受力特点

物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际并不存在。

3．合外力与向心力的关系

mv2(1)若F合＝mrω或F合＝r，物体做匀速圆周运动，即“供等于求”。

2mv2(2)若F合＞mrω或F合＞，物体做半径变小的近心运动，即“供过于求”。

r2mv2(3)若F合＜mrω或F合＜，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，r2即“供不应求”。

(4)若F合＝0，即“断供”，则物体沿圆周的切线方向做直线运动。

图2-3-5

[典例]

如图2-3-6所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是(

)

图2-3-6 A．两物体均沿切线方向滑动

B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远

C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动

第

6 页

共

18 页

D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远

[思路点拨]

根据题图可知：

(1)两物体角速度相同，rA>rB，当圆盘转速逐渐增加时，A物体先达到最大静摩擦力，然后细线上开始出现张力。

(2)当两物体刚好不发生滑动时，A、B间的细线有张力，且A、B两物体所受摩擦力均达到最大静摩擦力。

[解析]

A、B受力情况如图所示。A、B两物体刚好还未发生滑动时，物体A需要的向心力FA＝fmax＋T＝mω2rA，物体B需要的向心力FB＝fmax－T＝mω2rB，因此FA＞FB，烧断细线后，细线上拉力T消失，对A有fmax＜mω2rA，物体A做离心运动；对B有fmax＞mω2rB，物体B随盘一起转动，选项D正确。

[答案]

D

(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。

(2)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。

(3)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。

1. (多选)如图2-3-7所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是(

)

图2-3-7 A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的

B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故

C．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好

D．靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好

第

7 页

共

18 页

解析：选AC

脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，故A正确；水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，故B错误；F＝ma＝mω2R，ω增大会使向心力F增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去，故C正确；中心的衣服，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差，故D错误。

2.如图2-3-8所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，求汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)

图2-3-8 解析：在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，则fm＝μmg，vm2则有mR＝μmg，vm＝μgR，代入数据可得vm≈15 m/s＝54 km/h。当汽车的速度超过54 v2km/h时，需要的向心力mR大于最大静摩擦力，也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故。

答案：54 km/h

汽车做离心运动或出现翻车事故

竖直面内的圆周运动问题

1．细绳模型

如图2-3-9所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只mv2受重力，则mg＝，则v＝gr。在最高点时：

r

图2-3-9

(1)v＝gr时，拉力或压力为零。

(2)v>gr时，物体受向下的拉力或压力。

(3)v

即绳类的临界速度为v临＝gr。

2．轻杆模型

第

8 页

共

18 页

如图2-3-10所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

图2-3-10 (1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。

(2)0

(3)v＝gr时，小球除重力之外不受其他力。

(4)v>gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。

即杆类的临界速度为v临＝0。

[典例]

长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图2-3-11所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下对杆的作用力(g取10 m/s2)：

图2-3-11 (1)A的速率为1 m/s；

(2)A的速率为4 m/s。

[思路点拨]

零件A在最高点时，杆对零件A的弹力和零件A的重力的合力提供向心力；杆对零件A可能提供支持力，也可能提供拉力。

[解析]

设杆转到最高点，轻杆对零件的作用力恰好为零时，零件的速度为v0，由mgmv02＝得v0＝gL＝5 m/s。

L(1)当v1＝1 m/s

L解得轻杆对零件的支持力F1＝16 N 再由牛顿第三定律得，零件A对轻杆的压力F1′＝F1＝16 N。

(2)当v2＝4 m/s>v0时，轻杆对零件A有向下的拉力，

v22同理有mg＋F2＝mL

第

9 页

共

18 页

解得轻杆对零件的拉力F2＝44 N 由牛顿第三定律，所以零件A对轻杆的拉力F2′＝F2＝44 N。

[答案]

(1)16 N，方向向下

(2)44 N，方向向上

竖直平面内圆周运动的分析方法

(1)明确运动的类型，是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。

(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。

1.质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图2-3-12所示。已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg，则小球v以速度通过圆管的最高点时(

) 2

图2-3-12 A．小球对圆管的内、外壁均无压力

mgB．小球对圆管的外壁的压力等于

2C．小球对圆管的内壁压力等于mg

2D．小球对圆管的内壁压力等于mg

v2解析：选C

依题意，小球以速度v通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg＝m①

Rv令小球以速度通过圆管的最高点时小球受向下的压力N，有

2v/22mg＋N＝m②

Rmg由①②式解得N＝－

2上式表明，小球受到向上的压力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，mg大小为。选项C正确。

22.如图2-3-13所示，在杂技表演“水流星”中，细绳两端系有装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，水到转动轴的距离L＝0.8 m。求：(取g＝10 m/s2) 第

10 页

共

18 页

图2-3-13 (1)水桶经过圆周最高点时水不流出来的最小速率。

(2)水桶在最高点的速率v1＝5 m/s时，水对桶底的压力大小。

(3)若桶和水的总质量M＝1 kg，水桶经过最低点时的速率v2＝6.5 m/s，则此时绳子的拉力是多大？

解析：(1)水恰能沿圆周经过最高点不流出来的条件是重力完全用来提供向心力，且只受重力作用，此时水的速率为满足条件的最小速率，设为v0，由牛顿第二定律得

v02mg＝m，

L得v0＝gL＝0.8×10 m/s≈2.8 m/s。

(2)因为v1＝5 m/s>v0，所以桶底对水有竖直向下的作用力，设为N。

v12由牛顿第二定律得mg＋N＝m，

Lv1252得N＝mL－mg＝0.5×

N－0.5×10 N≈10.6 N，

0.8由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小为10.6 N。

(3)将水桶和水看成一个整体，在最低点时，绳子对水桶的拉力指向圆心，和重力一起提供整体所需的向心力，设为F。

v22由牛顿第二定律得F－Mg＝M，

Lv226.52得F＝Mg＋ML＝1×10 N＋1×

N ≈62.8 N。

0.8答案：(1)2.8 m/s

(2)10.6 N

(3)62.8 N

1．秋千的吊绳有些磨损。在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千(

) A．在下摆过程中

C．摆到最高点时

B．在上摆过程中

D．摆到最低点时

v2解析：选D

当秋千摆到最低点时速度最大，由F－mg＝ml知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确。

第

11 页

共

18 页

2．某同学在进行课外实验时，做了一个“人工漩涡”的实验，取一个装满水的大盆，用手掌在水中快速转动，就在水盆中形成了“漩涡”，随着手掌转动越来越快，形成的漩涡也越来越大，则关于漩涡形成的原因，下列说法中正确的是(

) A．由于水受到向心力的作用

B．由于水受到合外力的作用

C．由于水受到离心力的作用

D．由于水做离心运动

解析：选D

水在手的拨动下做圆周运动，当水转动越来越快时，需要的向心力也越来越大，当其所需向心力大于所受合外力时，即做离心运动，故选项D正确。

3．摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图1所示。它的优点是能够在现有线路上运行，勿须对线路等设施进行较大的改造，而是靠摆式车体的先进性，实现高速行车，并能达到既安全又舒适的要求。运行实践表明：摆式列车通过曲线速度可提高20%～40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”。假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所受到的向心力为(

)

图1 A．500 N C．5002 N

B．1 000 N

D．0 解析：选A

360 km/h＝100 m/s，乘客在列车拐弯过程中所受的合外力提供向心力Fv21002＝mr＝50×

N＝500 N，故A正确。

1 0004.如图2所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是(

)

图2 A．L1＝L2

C．L1

B．L1>L2

D．前三种情况均有可能

第

12 页

共

18 页

解析：选B

小球随汽车一起做圆周运动，小球的向心力是由重力和弹簧弹力的合力提供的，所以只有弹力减小才能使小球获得指向圆心的合力，小球才能做圆周运动。弹力减小，弹簧的形变量减小，故L1>L2，B正确。

5.在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)质量为m，A为终端皮带轮，如图3所示，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑。当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是(

)

图3 1A.2πC.gr

gr

g

B.r

1

D.gr

2πv2解析：选A

物体恰在终端被水平抛出时，物体与皮带间没有力的作用，则有mg＝m，r得v＝gr，则n＝v1＝2πr2πgr，A项正确。

6.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过该弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是(

)

图4 v2A．轨道半径R＝

gB．v＝gRtan θ

C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内

D．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外

解析：选BD

火车转弯时受力如图所示，火车转弯的向心力由重力和支持力v2v2的合力提供，则mgtan θ＝mR，故转弯半径R＝；转弯时的速度v＝gRtan θ；gtan θ若火车速度小于v时，需要的向心力减小，此时内轨对车轮产生一个向外的作用力，即车轮挤压内轨；若火车速度大于v时，需要的向心力变大，外轨对车轮产生一个向里的作用力，即车轮挤压外轨。

第

13 页

共

18 页

7．(多选)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图5所示，则下列说法错误的是(

)

图5 A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B．小球过最高点的最小速度是零

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

解析：选CD

小球过最高点时，若v＝gR，杆所受弹力等于零，选项A正确。此题属于轻杆模型，小球过最高点的最小速度是零，选项B正确。小球过最高点时，若vgR，杆对球有向下的拉力，且该力随速度的增大而增大，选项C、D错误。

8. (多选)如图6所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(

)

图6 A．小球P运动的周期变大

B．小球P运动的线速度变大

C．小球P运动的角速度变大

D．Q受到桌面的支持力变大

解析：选BC

对小球受力分析知，小球的合力为F合＝mgtan θ，因为mgtan θ＝mω2lsin θ，所以ω＝g，当小球在一个更高的lcos θ2π水平面上做匀速圆周运动时θ变大，则ω变大，又因为T＝ω，所以第

14 页

共

18 页

周期变小，故A错，C对。在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v＝ωr知v变大，B正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力和，D错误。

9.无缝钢管的制作原理如图7所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是(

)

图7 A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的

B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同

C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力

D．管状模型转动的角速度ω最大为gR

解析：选C

铁水做圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，没有离心力，故A错误；铁水在竖直面内做圆周运动，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相同，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C正确；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不能小于临界角速度，故D错误。

10．(多选)如图8所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车(

)

图8 A．在绕过小圆弧弯道后加速

第

15 页

共

18 页

B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2

D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s mv2解析：选AB

赛车做圆周运动时，由F＝R知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕过小圆弧后加速，选项A正确；

v2在大圆弧弯道上时，根据F＝m知，其速率v＝R正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率v′＝30 m/s。

如图所示，由边角关系可得α＝60°，直道的长度x＝Lsin 60°＝503 m ，据v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50 m/s2，2πr选项C错误；小弯道对应的圆心角为120°，弧长为s＝，对应3s的运动时间t＝≈2.79 s，选项D错误。

v′11．如图9所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，长为L＝160 m，桥高h＝35 m。可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处是平滑的，一辆质量m＝2.0 t的小轿车，驶过半径R＝90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10 m/s2，求：

图9 (1)若桥面为凸形，轿车以v1＝10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？

(2)若轿车通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力，则速度v2是多大？

(3)若轿车以问题(2)中的速度v2通过凸形桥面顶点，求轿车到达水平路面时速度的大小及其方向与水平方向夹角的余弦值。

解析：(1)轿车通过桥面最高点时，由桥面的支持力和重力提供向心力，由牛顿第二定律得：

v12mg－N＝m

Rv11010－N≈1.78×104 N 可得N＝mg－R＝2 000×90由牛顿第三定律得：汽车对桥面压力是N′＝N＝1.78×104 N。

(2)若轿车通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得：

v22mg＝mR

可得v2＝gR＝10×90 m/s＝30 m/s。

第

16 页

共

18 页

22FR＝m2.25mgR＝45 m/s，选项Bm

(3)若轿车以问题(2)中的速度v2通过凸形桥面顶点后做平抛运动，则有

1h＝gt2，t＝22h＝g2×35

s＝7 s 10轿车到达水平路面时速度的大小v＝v22＋gt2＝40 m/s v2速度方向与水平方向夹角的余弦值cos α＝＝0.75。

v答案：(1)1.78×104 N

(2)30 m/s

(3)40 m/s

0.75 12.如图10所示，有一长L＝0.4 m的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴有质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动，已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离L1＝0.65 m，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力。

图10 (1)求小球通过最高点A时的速度大小。

(2)若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力T恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间让细线断裂，求小球的落地点到C点的距离。

解析：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：

vA2mg＝mL

则得vA＝gL＝10×0.4 m/s＝2 m/s；

(2)小球在B点时，根据向心力公式得：

vB2T－mg＝mL

又T＝6mg

解得：vB＝25 m/s 小球运动到B点时细线断裂，小球开始做平抛运动，有：

1竖直方向上：L1－L＝gt2

2水平方向上：x＝vBt

解得x＝1 m。

答案：(1)2 m/s

(2)1 m

第

17 页

共

18 页

第

18 页

共

18 页