3. 万有引力定律的应用优秀教学设计说课稿

第3节

万有引力定律的应用

学习目标

1.了解万有引力定律在天文学上的应用，预言未知星体。

2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。

3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。

一、预言彗星回归和未知星体

阅读教材第49页内容，知道预言彗星回归和未知星体所用到的理论依据。

1.预言彗星回归：哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论，预言彗星回归的时间，并得到证实。

2.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

3.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

思考判断

1.天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(×) 2.海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(√) 3.牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×) 二、计算天体质量

阅读教材第50页内容，知道计算天体质量的方法。

1.地球质量的计算

(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。

2个应用——预言未知天体，测天体质量

1个基本思路——万有引力提供向心力

核心提炼

GMm2＝mgR2个重要关系——22

vMm4πG2＝m＝mω2r＝m2rrrT

Mm(2)关系式：mg＝GR2。

gR2(3)结果：M＝G，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。

2.太阳质量的计算

(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。

Mm4π2(2)关系式：Gr2＝mT2r。

4π2r3(3)结论：M＝GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。

(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行4π2r3星的质量M，公式是M＝GT2。

思维拓展

如图1所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量。

图1 (1)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？

(2)已知地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量。

答案

(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mgmMgR2＝GR2，解得地球的质量M＝G，只要测出G、g、R来，便可“称量”地球的质量。

62gR29.8×（6.4×10）(2)M＝G＝

kg≈ 6.0×1024 kg。

－116.67×10

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1 问题2 问题3

天体质量和密度的计算

[要点归纳] 1.天体质量的计算

情景

“自力更生法”

已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 物体的重力近似等于天体(如地思路

球)与物体间的万有引力：mg＝MmGR2

“借助外援法”

行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动

行星或卫星受到的万有引力充v2MmMm当向心力：Gr2＝mr或Gr2＝Mm2π2mωr或Gr2＝mTr

2结果

gR2天体(如地球)质量：M＝G

rv2中心天体质量：M＝G或M＝r3ω24π2r3G或M＝GT2

2.天体密度的计算

(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝4(2)特殊情况

①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝4M3M3，将质量代入可求得密度。

3πR，3πR4π2r33πr3将M＝GT2代入得：ρ＝GT2R3。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于3π天体半径R，则ρ＝GT2。

②已知天体表面的重力加速度为g，则

gR2GM3gρ＝4＝4＝4πRG。

33πRπR33[精典示例] [例1]

我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：

(1)该星球表面的重力加速度。

(2)该星球的平均密度。

思路探究

(1)能否利用小球的运动情况求出该星球表面的重力加速度？

(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关系式为GM＝________。

1提示

(1)小球做平抛运动，由L＝vt及h＝2gt2可以求得该星球表面的重力加速2hv2度g＝L2。

(2)gR2

解析

(1)小球在星球表面做平抛运动，有

2hv212L＝vt，h＝2gt，解得g＝L2。

GMm(2)在星球表面满足R2＝mg

3hv243又M＝ρ·3πR，解得ρ＝2πGRL2。

2hv23hv2答案

(1)2

(2)

L2πGRL2【误区警示】

求解天体质量的注意事项

gR24π2r3(1)计算天体质量的方法：M＝G和M＝GT2。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。

(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有R＝r。

[针对训练1]

利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是(

) ．．A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

GM地m解析

因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即R2＝mg，GM地m卫v2gR2得M地＝G，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据R2＝m卫R和GM地m月v3T2πRT＝v，得M地＝2πG，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据r2GM太m地4π24π2r3＝m月T2r，得M地＝GT2，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据r24π24π2r3＝m地T2r，得M太＝GT2，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。

答案

D

天体运动的分析与计算

[要点归纳] 1.解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本Mm关系式：GR2＝ma，式中a是向心加速度。

2.常用的关系式

v2Mm4π22(1)Gr2＝mr＝mωr＝mT2r。

Mm(2)mg＝GR2即gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式。

3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。

v2Mm(1)由Gr2＝mr得v＝GMr，r越大，v越小。

Mm(2)由Gr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小。

r3GM，r越大，T越大。

Mm2π2(3)由Gr2＝mTr得T＝2πMmGM(4)由Gr2＝man得an＝r2，r越大，an越小。

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。

[精典示例] [例2]

国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(

)

图2 A.a2＞a1＞a3

C.a3＞a1＞a2

B.a3＞a2＞a1

D.a1＞a2＞a3

解析

东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同，东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径，由a＝ω2r得a2＞a3，东方Mm红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：Gr2＝ma，结合二者离地面的高度可得a1＞a2，选D。

答案

D [针对训练2] (多选)如图3所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(

)

图3 A.b所需向心力最小

B.b、c的周期相同且大于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度

解析

因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b所受的引力最GMmGM小，故A正确；由r2＝man得，an＝r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；GMm4π2mr由r2＝T2得，T＝2πr3GM，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平v2Mm方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由G2＝m得，rrv＝GMr，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。

答案

ABD

1.(行星运动周期与轨道半径的关系)(2018·郑州高一检测)若太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视为半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(

) 4π2r3A.GM＝T2

4π2r2C.GM＝T3

4π2r2B.GM＝T2

4πr3D.GM＝T2

Mm解析

行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有G2＝r4π24π2r3mT2r，所以GM＝T2，选项A正确。

答案

A 2.(重力加速度的估算)(2018·宁波高一检测)若某黑洞的半径R约45 km，质量MMc2和半径R的关系满足R＝2G(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力

加速度的数量级为(

) A.108 m/s2

C.1012 m/s2

B.1010 m/s2

D.1014 m/s2

解析

黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之MmM间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m的物体有：F万＝GR2＝mg，又有Rc2c2＝2G，联立解得g＝2R，代入数据得重力加速度g＝1012 m/s2，C项正确。

答案

C 3.(星球表面重力加速度的计算)(2017·济宁高一检测)火星的质量和半径分别约11为地球的10和2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(

) A.0.2g

C.2.5g

B.0.4g

D.5g

解析

由星球表面的物体所受的重力近似等于万有引力知，对火星上的物体，GM火m1m1g火＝①

R2火GMm2对地球上的物体，m2g＝R2②

g火M火R21×22联立①②式得g＝＝0.4，则g火＝0.4 g。

2＝MR火10×1答案

B 4.(天体密度的计算)(2017·石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(

) 3π（g0－g）A.GT2g

03πC.GT2

B.3πg0

GT2（g0－g）3πg0D.GT2g

MmMm4π2解析

在地球两极处，GR2＝mg0；在赤道处，GR2－mg＝mT2R，故R＝

R2g0G（g0－g）T2M3g03πg0，则ρ＝＝＝＝224π43434πRGGT（g0－g），B正确。

3πR3πR答案

B 5.(天体质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：

(1)该天体的密度；

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，该天体密度的另一表达式。

Mm解析

(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有GR24π24π2R34＝mT2R，M＝GT2，根据数学知识可知天体的体积为V＝3πR3

11故该天体的密度为

M4π2R33πρ＝V＝＝2

4GT13GT21·πR3(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有

Mm4π2G＝mT2(R＋h) （R＋h）224π2（R＋h）3M＝

GT22M4π（R＋h）3π（R＋h）ρ＝V＝＝GT2R3

2243GT2·πR33π（R＋h）33π答案

(1)2

(2)

23GT1GT2R

233

基础过关

1.有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比(

) A.1∶1

C.1∶2

B.2∶1

D.无法计算

Mm4π2MM3π解析

万有引力提供向心力，GR2＝mT2R，而ρ＝V＝4＝GT2，联立解得，3πR3ρA1行星A、B的密度之比ρ＝1。

B答案

A 2.(2018·衡水高一检测)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为(

) A.8.1×1010 kg

C.5.4×1019 kg

B.7.4×1013 kg D.7.4×1022 kg 解析

“嫦娥一号”围绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：Mm4π24π2322G2(h＋R)，代入数据解得M≈7.4×10 kg，2＝m2(h＋R)，则M＝TGT（h＋R）D对。

答案

D 3.若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比M日为(

) M地

R3t2A.r3T2

R3t2C.r2T3

R3T2B.r3t2

R2T3D.r2t3

Mm4π2解析

无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为Gr2＝mT2r，即M日R3t2r3M∝T2，所以＝r3T2，选项A正确。

M地答案

A 4.人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则(

) A.v＝4gR

C.v＝gR

B.v＝2gR

D.v＝gR2

v2MmMm解析

人造卫星的轨道半径为2R，所以G＝m，又因为mg＝G2RR2，（2R）2联立可得：v＝答案

D 5.一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(

) mv2A.GN

Nv2C.Gm

mv4B.GN

Nv4D.Gm

gR2，选项D正确。

NMm解析

由N＝mg得g＝m。在行星表面GR2＝mg，卫星绕行星做匀速圆周运动，v2mv4Mm万有引力提供向心力，则GR2＝mR，联立以上各式得M＝GN，故选B。

答案

B r36.所有绕太阳运转的行星，其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即T2＝k，那么k的大小决定于(

) A.只与行星质量有关

B.只与恒星质量有关

C.与行星及恒星的质量都有关

D.与恒星质量及行星的速率有关

GMmr3GM2π2解析

由r2＝mrT得k＝T2＝4π2，所以k的大小只与恒星质量有关，B正确。

答案

B 能力提升

7.(多选)如图1所示，“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。“玉兔号”在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2；地球与月球均为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速为g1,

则(

)

图1 G1g1A.月球表面的重力加速度为G

22G2R2B.月球与地球的质量之比为GR2

11C.月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率之比为D.“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2πG1R2G2g1

1G1R1G2R2

G1G2G2g1解析

“玉兔号”的质量m＝g，月球表面的重力加速度g2＝m＝G，故A12MmgR2M月g2R2G2R22错误；根据mg＝GR2，得M＝G，故＝gR2＝GR2，故B正确；根据v＝M地1111GMRv月g2R2＝gR，得＝＝v地g1R12G2R2G1R1，故C错误；根据周期公式T＝4π2R3GM和GM4π2R322＝g2R2＝gR，所以“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动的周期T＝

2πG1R2G2g1，故D正确。

答案

BD 8.某行星外围有一圈厚度为d的发光的物质，简化为如图2甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径；现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测后发现：发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示(图中所标v0为已知)，则下列说法正确的是(

)

图2 A.发光带是该行星的组成部分

v20B.行星表面的重力加速度g＝R

2Rv20C.该行星的质量为

G23Rv0D.该行星的平均密度为

4πG（R＋d）3解析

若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v＝ωr，v与r应成正比，与题图乙不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，v2v200故A错误；当r＝R时，有mg＝mR，得行星表面的重力加速度g＝R，故B正v2Mm确；发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有Gr2＝mr，2v2rv0R得该行星的质量M＝G，由题图乙知，当r＝R时，v＝v0，则有M＝G，故C3v20错误；该行星的平均密度为ρ＝4＝4πGR2，故D错误。

3πR3M答案

B 9.如图3所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用

下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、L3mB，万有引力常量为G。求T2(其中L为两星球中心间的距离，T为两星球的运动周期)。

图3 解析

设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB。则rA＋rB＝L，

mAmB4π2对星球A：GL2＝mArAT2

mAmB4π2对星球B：GL2＝mBrBT2

L3G（mA＋mB）联立以上三式求得T2＝

4π2答案

G（mA＋mB）

4π210.某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？

v2v解析

星球表面的重力加速度：g＝t＝t

2人造星体靠近该星球表面运转时：

v′2mg＝mR(m：人造星体质量) 所以v′＝gR＝答案

2vRt

2vRt

11.已知太阳光从太阳射到地球需时间t，光速为c，地球公转轨道可近似看成圆轨道，公转周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试计算：

(1)太阳的质量；

(2)地球的质量。

解析

(1)设太阳的质量为M，地球的质量为m，因为太阳对地球的万有引力提Mm4π24π2r32供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力，有Gr2＝mωr＝mT2r，解得M＝GT24π2c3t3＝GT2

(2)地球半径为R，则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力，故有：

Gmm′gR2F引′＝m′g，即：R2＝m′g，m＝G。

4π2c3t3gR2答案

(1)GT2

(2)G

12.如图4所示为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：

图4 (1)月球表面的重力加速度g月；

(2)月球的质量M；

(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率v是多少？

解析

(1)取水平抛出的物体为研究对象，有

2hv2102h＝2g月t，x＝v0t，联立解得g月＝x2。

(2)取月球表面的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即

2g月R22hv2GMm0Rmg月＝R2，得M＝G＝Gx2。

(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动半径为R，万有引力提供向心力，故

GMm′m′v2有R2＝R(m′为飞船质量)，

所以v＝v0

2hRGM。

R＝g月R＝x22hv22hv200R答案

(1)x2

(2)Gx2

(3)v0

2hR

x