复习参考题教学设计(教案)

学习目标

1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan α＋tan βtan(α＋β)＝. 1－tan αtan βtan α－tan βtan(α－β)＝. 1＋tan αtan β2.二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan αtan 2α＝. 1－tan2α3.升幂缩角公式

1＋cos 2α＝2cos2α. 1－cos 2α＝2sin2α. 4.降幂扩角公式

1＋cos 2xsin 2xsin xcos x＝，cos2x＝，

22sin2x＝1－cos 2x. 25.和差角正切公式变形

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式

y＝asin ωx＋bcos ωx＝a2＋b2sin(ωx＋θ).

类型一

灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用

41例1

已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值. 534解

∵α是锐角，cos α＝，

533∴sin α＝，tan α＝. 54tan α－tanα－β13∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. 1＋tan αtanα－β9910∵β是锐角，∴cos β＝. 50反思与感悟

给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换α，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·211α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等. 22跟踪训练1

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终31025边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 105

(1)求tan(α－β)的值；

(2)求α＋β的值. 31025解

(1)由题可知，cos α＝，cos β＝. 105由于α，β为锐角，则sin α＝11故tan α＝，tan β＝，

32105，sin β＝，

105

11－tan α－tan β321则tan(α－β)＝＝＝－. 171＋tan αtan β1＋611＋32(2)因为tan(α＋β)＝＝1，

11－6sin α＝10252<，sin β＝<，

10252ππ即α＋β<，故α＋β＝. 24类型二

整体换元思想在三角恒等变换中的应用

例2

求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值. 解

设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝2πx＋，

＝2sin4∴t∈[－2，2]，

sin x＋cos x2－1t2－1∴sin x·cos x＝＝. 22∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，

t2－11∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－2，2]. 22当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，

π2x＋＝－，

此时，由sin42π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 21当t＝2，即sin x＋cos x＝2时，f(x)max＝2＋，

2ππx＋＝2，即sinx＋＝1，

此时，由2sin44π解得x＝2kπ＋，k∈Z. 4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z241时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋. 2反思与感悟

在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和22sin x＋cos x

22

推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2

求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解

令sin x－cos x＝t，

πx－知，t∈[－2，2]. 则由t＝2sin4又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2，

∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2

15t－2＋. ＝－2415当t＝时，ymax＝；

24当t＝－2时，ymin＝－2－1. 5－2－1，. ∴函数的值域为4类型三

转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

π5πx－＋2sin2x＋－1，x∈R. 例3

已知函数f(x)＝23sin(x－3π)sin22π0，上的最大值和最小值；

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2ππ6(2)若f(x0)＝，x0∈4，2，求cos 2x0的值. 5解

(1)因为f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) π2x＋，

＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin6所以f(x)的最小正周期为π.

πππ7π又因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，

2666所以f(x)的最大值为2，最小值为－1. π2x0＋. (2)由(1)可知，f(x0)＝2sin66又因为f(x0)＝，

5π32x0＋＝. 所以sin65πππ2π7π，，得2x0＋∈，，

由x0∈42636π2x0＋＝－

所以cos6π42x0＋＝－，

1－sin265ππ2x0＋－

cos 2x0＝cos66

ππππ2x0＋cos ＋sin2x0＋sin

＝cos6666＝3－43. 10反思与感悟

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. π317πsin 2x＋2sinx7π＋x＝，

已知cos的值. 451241－tan xsin 2x＋2sin2x2sin xcos x＋2sin2x解

＝

sin x1－tan x1－cos x＝＝2sin xcos xcos x＋sin x

cos x－sin xsin 2x1＋tan x

1－tan x2π＝sin 2x·tan4＋x. ∵17π7π5ππ

12434π3π4＋x＝，∴sin＋x＝－. 又∵cos4545π4＋x＝－. ∴tan43ππ∴cos x＝cos4＋x－4

ππππ＋xcos ＋sin＋xsin

＝cos4444＝2342×5－5＝－. 210ππ∴sin x＝sin4＋x－4

ππππ72＋xcos －sin cos＋x＝－＝sin，

44441027sin 2x＋2sinx28sin 2x＝.∴＝－. 25751－tan x类型四

构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用

例4

已知sin x＋2cos y＝2，求2sin x＋cos y的取值范围.

解

设2sin x＋cos y＝a. sin x＋2cos y＝2，由2sin x＋cos y＝a，

2，sin x＝2a－3解得4－acos y＝，3

－2≤1，－1≤2a3从而4－a－1≤≤1，3

5解得1≤a≤. 251，. 故2sin x＋cos y的取值范围是2反思与感悟

在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决. 跟踪训练4

已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值. x＋y＝1，解

设x＝cos θ，y＝sin θ，则有

3x＋y＋a＝0，消去y，并整理得4x2＋23ax＋a2－1＝0. 由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，

①

22

cos α＋cos β＝－23a，由根与系数的关系，得a－1cos αcos β＝.42

∴sin αsin β＝(3cos α＋a)(3cos β＋a) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a＋a2

a2－3＝. 4∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

a2－1a2－31＝－＝. 442

5α1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于(

) 132512A.－5

B.－

C.

D.5 1313答案

A

解析

∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－5，

1312又∵α是第三象限角，∴cos α＝－. 13－121－13α1－cos α∴tan ＝＝＝－5. 2sin α5－1352.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ等于(

) 922A.

32C.

3答案

A 5解析

由＝sin4θ＋cos4θ

9＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ

1＝1－sin22θ，

2148得sin22θ＝，即sin22θ＝. 2993π又∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，

2∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，

22故sin 2θ＝.故选A. 3113.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝

. 3259答案

－

7213解析

由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，

3659得2sin(α－β)＝－，

3659即sin(α－β)＝－. 72π4πα＋＝，则sin2α＋的值为

. 4.设α为锐角，若cos1265答案

172

5022B.－

32D.－

3

π4α＋＝，

解析

∵α为锐角且cos65π3α＋＝. ∴sin65πππ242α＋＝2sinα＋cosα＋＝，

sin36625ππ72α＋＝2cos2α＋－1＝，

cos3625πππ2α＋＝sin2α＋－

∴sin1234＝ππ21722α＋－cos2α＋＝sin. 33250π35.已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－3cos2x＋，x∈R. 34(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值. 44133解

(1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－3cos2x＋

224133＝sin x·cos x－cos2x＋

224133＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

444131π＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－). 4423所以f(x)的最小正周期为T＝2π＝π.

2ππππ(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，

412124π1π1π1f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，

4412244ππ11所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 4442

本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.

课时作业

一、选择题

1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于(

) A.0

B.12

C.22

D.1 答案

D 解析

原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y＝12sin 2x＋sin2x(x∈R)的值域是(

) A.－12，32

B.－312，2

C.2121－2＋2，2＋2

D.2121－2－2，2－2

答案

C 解析

y＝11－cos 2x2sin 2x＋2

＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12

＝2π2sin(2x－14)＋2. ∵x∈R，∴2x－π4∈R，

∴sin(2x－π4)∈[－1，1]，

∴函数的值域是－21212＋2，2＋2. 3.函数f(x)＝sin xcos x＋32cos 2x的最小正周期和振幅分别是(

A.π，1

B.π，2 C.2π，1

D.2π，2 答案

A 解析

∵f(x)＝1π2sin 2x＋32cos 2x＝sin2x＋3，

∴最小正周期T＝π，振幅A＝1. )

4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos2α等于(

) sinα－π4A.255

B.－255

C.－35D.－3105

10

答案

B 解析

sin 2α－2cos2α＝2cos αsin α－cos α＝22cos αsinπα－42. 2sin α－cos α∵tanα＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12，

∴tan α＝－3 ，

∵α∈π2，π，cos α＝－1010. sin 2α－2cos2则α＝22cos α

sinα－π4＝22×－1010＝－255. 5.已知向量a＝(sin α，1)，b＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a⊥b，则sin(α－π4)等于(

A.－32

B.－12

C.12

D.32

答案

D 解析

∵a⊥b，

∴a·b＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0，

∴sin(α＋π14)＝2. ∵π2<α<π，

∴3ππ5π4<α＋4<4，

∴cos(α＋π34)＝－2. ∴sin(α－ππ4)＝－sin(4－α)＝－cos(α＋π34)＝2. )

116.若＝3，则cos2θ＋sin 2θ的值是(

) tan θ26A.－

54C.

5答案

D 1解析

由题意知，tan θ＝，

3cos2θ＋sin θcos θ1＋tan θ612则cosθ＋sin 2θ＝cosθ＋sin θcos θ＝＝2＝. 2sin2θ＋cos2θtanθ＋1524B.－

56D.

57.函数y＝sin xcos x＋3cos2x－3的图象的一个对称中心为(

) 2π3A.，－

232π3C.－，

32答案

B 13解析

y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－3 22π3π2x＋－，令2x＋＝kπ(k∈Z)，

＝sin323kππ5πx＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，

266∴函数图象的一个对称中心为二、填空题

8.若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝

. 答案

－2 解析

由题意知，tan α＝－2，

sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α

2sin αcos α＋2cos2α－2sin2α＝

sin2α＋cos2α2tan α＋2－2tan2α－4＋2－2×4＝＝＝－2. 5tan2α＋19.函数y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝

，b＝

. 答案

1

±22 解析

y＝acos2x＋bsin xcos x

baa＝sin 2x＋cos 2x＋

2225π3. ，－265π3B.，－

26πD.3，－3

a2＋b2a＝sin(2x＋φ)＋，

22a2＋b2aa2＋b2a＋＝2，－＋＝－1，

2222a＝1，b＝±22. 10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝

. 答案

4 解析

由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，

即tan α－tan β＝4. 1＋tan αtanβ∴tan(α－β)＝4. 三、解答题

ππ1x＋sinx－. 11.已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin44tan x(1)若tan α＝2，求f(α)；

ππ(2)若x∈12，2，求f(x)的取值范围. 解

(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x

＝1－cos 2x1＋sin 2x＋cos 2x

2211＝(sin 2x＋cos 2x)＋，

222sin αcos α由tan α＝2，得sin 2α＝2

sinα＋cos2α＝2tan α4＝，

2tanα＋15cos2α－sin2αcos 2α＝2

sinα＋cos2α1－tan2α3＝2＝－，

5tanα＋114313－＋＝. 所以f(α)＝×2552511(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋

22＝π12sin2x＋4＋2，

2πππ5π5π，，得2x＋∈，，

由x∈1224124π22x＋∈－，1，

所以sin42

从而f(x)＝π11＋22sin2x＋4. ＋2∈20，21＋2所以f(x)的取值范围为[0，]. 2→→12.已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若BC＝a，CA＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b| ＝5，θ为a，b的夹角.求sin(B＋θ). 解

2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，

4cos2B－8cos B＋3＝0，

13解得cos B＝，sin B＝，

2234a·bcos θ＝＝－，sin θ＝，

|a||b|554－33sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝. 10π13.设函数f(x)＝sin2x＋cos(2x＋). 3(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；

1C1(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，已知cos B＝，f()＝－，且C为锐角，求sin A的值. 3241－cos 2x13解

(1)∵f(x)＝＋cos 2x－sin 2x

22213＝－sin 2x，

22∴当sin 2x＝－1时，f(x)max＝1＋3，

2ππ此时2x＝2kπ－(k∈Z)，x＝kπ－(k∈Z)，

24π∴x的取值集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}. 4C131(2)∵f()＝－sin C＝－，

2224∴sin C＝3. 2π∵C为锐角，∴C＝. 3122由cos B＝，得sin B＝1－cos2B＝，

332π31－B＝cos B＋sin B

∴sin A＝sin322

＝3＋22. 6四、探究与拓展

1－cos 2απ14.若tan(α＋)＝3＋22，则＝

. 4sin 2α答案

2

2→→15.已知向量OA＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m＝(2，1)，n＝(0，－5)，且m⊥(OA－n). (1)求向量OA→；

(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值. 解

(1)∵OA→＝(cos α，sin α)，

∴OA→－n＝(cos α，sin α＋5). ∵m⊥(OA→－n)，∴m·(OA→－n)＝0，

∴2cos α＋sin α＋5＝0.

①

又sin2α＋cos2α＝1，

②

由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，

∴OA→＝(－2555，－5). (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos2α－1 ＝2×45－1＝35，

∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β

＝35×(－247210)＋5×10

＝25250＝22.