复习参考题优秀公开课教案

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复习课

三角函数

怀集中学

郑涯

三角函数的定义

1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．

y2．若角α的终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，r＝|OP|＝x2＋y2，则sin α＝r，cos αxy＝，tan α＝(x≠0)．

rxπ则sin α＝________，[典例] 已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈2，π，tan α＝________. π，π，∴cos θ＜0，∴r＝x2＋y2＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cos θ，故[解析]

∵θ∈2yy44sin α＝r＝－，tan α＝x＝－. 5344[答案]

－

－

53[类题通法] 利用三角函数定义求函数值的方法

当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．

求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．

[题组训练]

5π5πsin，cos，则角α的最小正值为(

) 1．已知角α的终边上一点的坐标为665πA.

65πC.

3解析：选C

由三角函数的定义知：

5ππ3cos－cos－662tan α＝＝＝＝－3. 5ππ1sinsin 6622πB.

311πD.

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又sin 5π5π＞0，cos ＜0. 665π所以α是第四象限角，因此α的最小正值为. 32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(

) 4A．－

53C.

53B．－

54D.

5解析：选B

在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)．

则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2. a21所以cos

θ＝2＝，

5a5223cos 2θ＝2cos2

θ－1＝－1＝－. 553．若θ是第四象限角，则点P(sin θ，tan θ)在第________象限．

解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0，

∴点P(sin θ，tan θ )在第三象限．

答案：三

同角三角函数间的基本关系及诱导关系

1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．

2．(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及三角函数的求值、化简、证明．

π(2)诱导公式可概括为k

·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶2π不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．

22＋tanθ－π[典例] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．

1＋tan2π－θ2＋tan θ[解]

法一：由已知＝－4，

1－tan θ∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，

解得tan θ＝2. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) 高考资源网版权所有，侵权必究！

sin α＝tan α，并能应用两个关系式进行cos α

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＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ

4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝

sin2θ＋cos2θ4tan θ－tan2θ－38－4－31＝＝＝. 5tan2θ＋14＋12＋tan θ法二：由已知＝－4，

1－tan θ解得tan θ＝2. 即sin θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. cos θ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) cos2θ11＝cosθ＝2＝. 2＝2sinθ＋cosθtanθ＋152[类题通法] 三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧

(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．

(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．

(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．

[题组训练]

1．若sin(π－α)＝－2A．－

3C.6

63ππ5π，，则sin＋α＝(

) 且α∈223B．－2D.

33π5π，，

，又α∈236

6解析：选A

sin(π－α)＝sin α＝－π＋α＝cos α＝－1－sin2α

所以sin2＝－152＝－. 337B.

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22．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝

(

) 7A.

3

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5C.

4解析：选B

1＋sin θcos θ＝sin2θ＋cos2θ＋sin θcos θ＝

sin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ＋1＝，

tan2θ＋1又tan θ＝2，

22＋2＋17所以1＋sin θcos θ＝2＝. 52＋13．计算：sin 5D.

31＋sin θcos θ

14π25πcos－6＝________. 3π4ππ3π＋＝－sin ＝－，

＝sin3332解析：因为sin 25π25π4π＋π＝cosπ＝3，

－cos＝cos＝cos66662所以sin 4π25π333cos－6＝－×＝－. 32243答案：－

44．已知sin(180°＋α)＝－求10，0°＜α＜90°，

10sin－α＋sin－90°－α的值．

cos540°－α＋cos－270°－α10，0°<α<90°，

10解：由sin(180°＋α)＝－得sin α＝10310，cos α＝，

1010－sin α－sin90°＋α∴原式＝

cos360°＋180°－α＋cos270°＋α10310－1010－sin α－cos α＝＝＝2. －cos α＋sin α31010－＋1010－

简单的三角恒等变换

1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．

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2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan

β. 1∓tan αtan

β3．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

2tan α(3)tan 2α＝. 1－tan2α[典例] (广东高考)已知tan α＝2. πα＋的值；

(1)求tan4(2)求sin 2α的值．

sinα＋sin αcos α－cos 2α－12πtan α＋tan4πα＋＝[解]

(1)tan

4π1－tan αtan4＝2＋1＝－3. 1－2×1sin 2α(2)2

sinα＋sin αcos α－cos 2α－1＝＝

[类题通法] 解决条件求值应学会的三点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．

(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．

(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

[题组训练]

111．(重庆高考)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(

) 321A.

71B.

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2sin αcos α

sinα＋sin αcos α－2cos2α22×22tan α＝＝1. tanα＋tan α－24＋2－22

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5C.

7解析：选A

tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tanα＋β－tan α

1＋tanα＋β·tan α5D.

611－231＝＝. 1171＋×23π5π2．计算：coscos＝________. 1212π5πππ1π1解析：coscos＝cossin＝sin＝. 121212122641答案：. 4ππ3．已知0＜α＜，0＜β＜，且tan(α＋β)＝2tan α. 44αα4tan＝1－tan2，则α＋β＝________. 22αα解析：∵4tan＝1－tan2，

22α2tan 21∴tan α＝＝α＝2，

2α1－tan4tan 221∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1. 2ππ∵0＜α＜，0＜β＜，

44ππ0，，∴α＋β＝. ∴α＋β∈24π答案：

434．在△ABC中，sin B＝cos A，若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C. 4解：因为sin C－sin Acos B＝sin[180°－(A＋B)]－sin Acos B＝sin(A＋B)－sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝cos Asin B，

3所以cos Asin B＝. 43因sin B＝cos A，因此sin2B＝. 4又B为钝角，所以sin B＝3，故B＝120°. 2α2tan2高考资源网版权所有，侵权必究！

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由cos A＝sin B＝3，知A＝30°. 2从而C＝180°－(A＋B)＝30°. 综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.

1．若cos α＝－3，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是(

) 2B．±23 D．－23 x2＋22，由题意得x3＝－，

2x2＋22A．23

C．－22

解：选D

r＝

∴x＝－23.故选D. 2．若－2π＜α＜－αA．sin

2αC．－sin

2解析：选D

＝

1－cosα－π＝

23π，则

21－cosα－π的值是(

) 2αB．cos

2αD．－cos

21－cosπ－α

21＋cos αα＝cos 2，

2 α3π3π∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，

224αααcos ＝－cos . ∴cos ＜0，∴222π10，，且sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，则tan α的值等于(

) 3．若α∈24A.2

2B.3

3C.2

D.3 111解析：选D

∵sin2(3π＋α)＋cos 2α＝，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝，

即cos2α＝. 又α444π1ππ0，，∴cos α＝，则α＝，∴tan α＝tan ＝3，故选D. ∈22334．已知sin α－cos α＝－A．－5

C．－7

51，则tan α＋的值为(

) 2tan αB．－6 D．－8 高考资源网版权所有，侵权必究！

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解析：选D

∵sin α－cos α＝－5∴1－2sin αcos α＝，

41∴sin αcos α＝－，

8∴tan α＋5，

2sin αcos α11＝＋＝＝－8. tan αcos αsin αsin αcos α1的值为(

) cosα＋sin 2α25．若3sin α＋cos α＝0，则10A.

32C.

35B.

3D．－2 1解析：选A

∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，

3－12＋1sinα＋cosαtanα＋13110∴2＝2＝＝＝，故选A. 13cosα＋sin 2αcosα＋2sin αcos α1＋2tan α－1＋2×3222ππ33，π，α＋β∈，π，则cos 2β6．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈2255的值为(

) A．1

24C.

25B．－1 4D．－

544解析：选C

由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]55344324－×－＋×＝. ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝5555257．在0°～720°中与2π角终边相同的角为________．

518022解析：因为π＝π×π°＝72°，

552π所以终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，

5当k＝0时，θ＝72°；

当k＝1时，θ＝432°，

所以在0°～720°中与答案：72°，432°

2π角终边相同的角为72°，432°. 5高考资源网版权所有，侵权必究！

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ππ3＋α＝，则sin－α＝_______________________. 8．已知α为钝角，sin444πππ3＋α＝sin＋α＝，

解析：因为cos2－444π3－α＝. 所以cos44π因为α为钝角，即＜α＜π，

2所以－3πππ＜－α＜－，

444π所以sin4－α＜0，

π则sin4－α＝－答案：－7

4π7－α＝－. 1－cos2449．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－22，则

θ5π2cos2

－sin θ－tan24＝________. π2sinθ＋4解析：∵tan 2θ＝∴tan θ＝－2tan θ＝－22，

1－tan2

θ2或tan θ＝2. 2π∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，

2∴tan θ＜0，∴tan θ＝－2，

2θθ5π2cos2

－sin θ－tan 2cos2－sin θ－1242＝

ππ2sinθ＋2sinθ＋4422cos θ－sin θ1－tan θ＝＝＝＝3＋22. cos θ＋sin θ1＋tan θ21－21＋答案：3＋22 10．求值：cos 40°＋sin 50°1＋3tan 10°sin 70°1＋sin 50°. cos 40°＋sin 50°1＋3tan 10°解：

sin 70°1＋sin 50°高考资源网版权所有，侵权必究！

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cos 40°＋sin 50°1＋＝3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°

2sin10°＋30°cos 40°＋cos 40°·cos 10°＝

2cos220°＝cos 40°＋1＝2. 2cos220°sin 2α＋2sin2α3 23π11．已知cos α－sin α＝，且π＜α＜，求的值．

521－tan α32解：∵cos α－sin α＝，

518∴1－2sin αcos α＝，

25∴2sin αcos α＝7. 253ππ，，

又∵α∈242∴sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－，

5sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2αcos α∴＝

1－tan αcos α－sin α742×－52sin αcos αcos α＋sin α2528＝＝＝－. 75cos α－sin α32512．已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

3π，2π，且a⊥b. α∈2(1)求tan α的值；

απ(2)求cos2＋3的值．

解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0. 而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，

由于cos α≠0, ∴6tan2α＋5tan α－4＝0，

41解得tan α＝－或tan α＝. 323π∵α∈2，2π，∴tan α＜0，

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4∴tan α＝－. 33πα3π，2π，∴∈，π. (2)∵α∈224αα41由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．

3222αα525∴sin ＝，cos ＝－，

2525απαπαπ＋＝coscos－sinsin

∴cos23232325153＝－×－×

525225＋15＝－. 10

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