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关键词：小结优质课教案设计

正文

平面向量

高考大纲要求：

1、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。

知识再现: 考点

一

平面向量的概念及线性运算

1．在平面向量的化简和运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．

2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

例题1分析：→＝a，AC→＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR2．如图，在△ABC中，设AB→＝(

) 的中点恰为P，则AP

2442C.a＋b

D.a＋b

7777→＝AC→＋CP→＝b＋PR→，①

解析：

则AP

→＝AB→＋BP→＝a＋RP→－RB→，②

→＝a＋b－RB→，③

①＋②，得2AP

→1→1→→又RB＝2QB＝2(AB－AQ)

1→1a－AP，④

＝

22

1→1→将④代入③，得2AP＝a＋b－2a－2AP，



→＝2a＋4b. 解得AP77

考点

二

平面向量的数量积

知识再现: 1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向

量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．

a·b

2．求非零向量a，b的夹角，一般利用公式cos〈a，b〉＝|a||b|先求出夹角的余

弦值，然后求夹角．

a·b

3．向量a在向量b方向上的投影为|b|＝|a|cosθ(θ为两向量的夹角)．

例题2分析：

1112A.a＋b

B.a＋b

2233

2π2．设单位向量e1，e2的夹角为3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(

) A．－33

B．－3

D.33

2C.3

2π12解析：依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，|a|＝e1＋2e22＝e2e2＝1＋4e2＋4e1·32

9a·b23，a

·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e1－6e2e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝2＋e1·2|a|

9－

233＝－，选A. 23

知识再现: 考点

三

数量积的综合应用

平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、

平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解

决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．

例题3分析：

3．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，

→→则AO·AP的最大值为________．

解析：如图，设P(x，y)，

∴－1≤x≤1，

→→∴AO＝(2,0)，AP＝(x＋2，y)，

→→

AO·AP＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4.

→AP→有最大值6.

∴当x＝1时，AO·方法总结：

2．向量与三角函数综合问题的特点与解题思路

(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决；

(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换，正、余弦定理等知识．

教学反思：

教学过程：

学生反馈：

资料摘要

小结优质课教案设计