2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录【3】

函数概念

1 给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图1

x≥0|x|象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x－1x<0

表示同一函数；．其中真命题的序号有________．

答案

①②

解析

对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}|x|的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④由于函数f(x)＝的定义x1

x≥0域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝－1x<0

的定义域是R，所以二者不是同一函数

2有以下判断：

①集合A到集合B的对应f，A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数，是从集合A到集合B的函数

②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

22③f(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；

1④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff＝0. 2其中正确判断的序号是________．

答案

②③

解析

对于①，；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)1的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝21－1－1＝0，所以ff1＝f(0)＝1. 222综上可知，正确的判断是②③. 【命题意图】1，2考查对函数概念的理解，函数是映射，但映射不一定是函数，函数有三

要素定义域、值域和解析式，两个相同的函数定义域、值域和解析式一定相同。：

lgx＋13（1）函数f(x)＝的定义域是___________ x－1（2）已知f(x)=(3) 求函数y

1，则函数f(f(x))的定义域是_________ x125x2lgcosx的定义域．

答案：（1）

(－1,1)∪(1，＋∞).（2）{x|x1且x2}

(3)

lgx＋1解析：（1）使函数f(x)＝x－1有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1，且x≠1

所以定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)。

（2）

f(f(x))＝111，∴

f(x)11x1x1，解得x1且x2，所以定1101x义域为{x|x1且x2}。

5x525x20(3) 由

得：2kx2k(kZ)cosx022

函数的定义域为[5,33)(,)(,5]．

2222

【命题意图】：对给定函数解析式求定义域。4 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2016]，则函数g(x)＝A．[0,2 015] C．(1,2016] 2的定义域是(

) B．[0,1)∪(1,2 015] D．[－1,1)∪(1,2 015] (2)若函数f(x＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为(

) A．[－1,1] B．[1,2] C．[10,100] D．[0，lg 2] 答案

(1)B (2)C 解析

(1)令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t≤2016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2016，解得0≤x≤2015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2 015]．

0≤x≤2015，所以使函数g(x)有意义的条件是x－1≠0，

解得0≤x<1或1

【命题意图】：考查求抽象函数定义域。5 函数＝ykx26xk8的定义域为R，则k的取值范围是（ ）

A.k0或k9

B.k1

C.9k1

D. 0k1

答案 B 解析：∵kx26xk80恒成立，

k0显然不符，

222

k0

∴

，

解得：k1，选B．

＝36－4k(k8)0

【命题意图】：已知定义域求参数范围。

26(1)已知f(x＋1)＝lgx，则f(x)＝________. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________. 1(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(x)·x－1，则f(x)＝________. 221答案

(1)lgx－1(x>1) (2)2x＋7 (3)3x＋3

22解析

(1)(换元法)令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，

22∴f(t)＝lgt－1，即f(x)＝lgx－1(x>1)．

(2)(待定系数法) 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，

a＝2，a＝2，∴解得

b＋5a＝17，b＝7，

∴f(x)＝2x＋7. (3)(消去法) 11在f(x)＝2f(x)x－1中，用x代替x，

11得f(x)＝2f(x)x－1，

12fx1将f(x)＝x－1代入f(x)＝2f(x)x－1中，

21可求得f(x)＝3x＋3.

【命题意图】：求函数解析式一般三种方法换元法、待定系数法、消去法。xy7设x

， y满足约束条件y4x3，若目标函数2z2xnyn0，z最大值为2，则x0 ， y0y=nx+1的图象向右平移答案：y=2(x-

)+1

后的表达式为________ 6解析：画出可行域与目标函数基准线

x,由线性规划知识，可得当直线

y过点B（1，1）时，z取得最大值，即1+

=2，解得n=2,则函数y=nx+1的图像向右平移

后的表达式是y=2(x-

)+1

【命题意图】：考查图像平移求得函数解析式。

8下列函数中,最小值是2的是_______(正确的序号都填上). 2sinxx91；②y．

42sinxx③若x2y21,则3x4y的最大值

答案：①

x91

。

解析：①y

4x. 22y22y2sinx|1

②由y解得：sinx，由|sinx|1得|y1y12sinx①y2两边平方后整理，得：3y10y30，解得：x3，

13故所给函数的值域为[,3]．

（＋）③设xcos,ysin，则3x4y3cos4sin5sin，其最大值为5．

【命题意图】考查求函数值域的基本方法。

9 （1）．函数y|x1||x2|的值域为________ ．（2）函数yx1x3

的值域是__________. 答案：（1）[3,)；（2）[4,4]

解析：作出函数的图象，可以看出函数值域为[3,)

解析：作出函数的图象，得值域为[4,4]．

【命题意图】：考查通过画图像求函数的值域。

13x33x,xa10设函数f(x). 2x,xa①若a0，则f(x)的最大值为______________；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________. 【答案】2，(,1). 解析：

【命题意图】考查求导求解函数的值域。

锁定高考考点

11（2016 高考新课标

文数）下列函数中，其定义域和值域分别与函数

的定义域和值域相同的是（ ）

A y=x B y=lgx C

D

答案D 解析:

,定义域与值域均为（

，

），只有D满足，故选D 【命题意图】：函数定义域、值域，对数的计算。

12(2015 高考湖北，文)函数

的定义域为（ ）

A (2，3) B (2，4] C (2，3)∪(3，4] D (-1，3)∪(3，6] 答案：C 解析：由函数y=f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足：4-|x|

0,

,解之得

,即函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，4]，故选C。

【命题意图】：考查函数定义域，不等式的运算，集合交集的运算。

13（2016 高考北京文）已知A（2，5），B（4，1），点P（x,y）在线段AB上，则2x-y的最大值为（ ）

A -1 B 3 C 7 D 8 答案C

得到y=-2x+9，解析:由题意得，AB：所以2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9

4

4-9=7,当x=4时等号成立，即2x-y的最大值为7，故选C 【命题意图】：考查函数值域，最值。

14（2017 广西高三摸底）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且

恒成立，当x

[2，3]时，f(x)=x，则当x

(-2,0)时，f(x)=( ) A 2+|x+1| B 3-|x+1| C |x-2| D |x+4| 答案：B

解析：由已知有函数f(x)是周期为2，当x

(0,1)时，有x+2

(2,3),故f(x)=f(x+2)=x+2,同理，当x

时，有f(x)=f(x+4)=x+4,又知f(x)是偶函数，故x

（0，1）时，有-x

(0,1),故f(x)=f(-x)=2-x,即

(-2,0)时，有f(x)=3-|x+1|,故选B。

【命题意图】：考查求函数解析式，周期性，奇偶性。

15．如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式yf(x)，并写出它的定义域．

2解析：ABx, CD=x,于是AD=12xx，因此，24212xxx2y2x，即yxlx． 2222x011由12xx，得0x，∴

函数的定义域为（0，）．

2022【命题意图】：考查根据实际生活中列出解析式，根据实际问题求解定义域。

快速提升能力

16 (理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：

x f(x)

x g(x)

则方程g[f(x)]＝x的解集为(

) A．{1} C．{3} [答案] C [解析] g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1；

g[f(3)]＝g(1)＝3，故选C 【命题意图】考查函数的概念。

，

17(理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝

，则f(2010)的值为

，

(

) A．－1 C．1

[答案] B [解析] f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝(f(2008)－f(2007))－f(2008)＝－f(2007)，

B．0 D．2

B．{2} D．∅

1

3

2

2

3 1 1

2

2

3

3 1

同理f(2007)＝－f(2004)，∴f(2010)＝f(2004)，

∴当x>0时，f(x)以6为周期进行循环，

∴f(2010)＝f(0)＝log21＝0. 【命题意图】考查函数的概念和函数的周期性。

18．关于函数，给出下列命题：

x－1，x＞0，①若函数g(x)＝是偶函数，则f(x)＝x＋1；

fx，x＜0

②函数y＝31，＋∞；

log|2x－3|的定义域为23x2＋x＋124③已知函数f(x)＝2，若f(a)＝，则f(－a)＝

33x＋1④. 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)= e

其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案：③④

解析：①令x<0,则-x>0,g(-x)=-x-1,又g(x)为偶函数，所以g(x)=g(-x)=-x-1,即f(x)=-x-1，所以不正确。

即0<|2x-3|

,所以

且

,即函②要是函数有意义，需满足

,

数的定义域为

∪

,2],所以不正确。

－x－1

x2＋x＋1xx③f(x)＝2＝1＋2，设f(x)＝1＋g(x)，即g(x)＝2＝f(x)－1.g(x)为奇函数，x＋1x＋1x＋1211满足g(－x)＝－g(x)．由f(a)＝，得g(a)＝f(a)－1＝－，则g(－a)＝，故f(－a)＝133314＋g(－a)＝1＋＝. 33④依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y＝e，于是－xf(x)的图象相当于曲线y＝e－x向左平移1个单位长度的结果，

∴f(x)＝e－x－1。

【命题意图】考查函数的定义域、奇偶性和图像的平移。

19现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1BC11D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1BC11D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高PO1的四倍. （1）若AB6m,PO12m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）PO123

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）. (2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0

2a222h36所以，即a236h.

212132262ah36hh3,0h6，

于是仓库的容积VV锥V柱a4hah33326363h22612h2. 从而V'3令V'0，得h23

或h23（舍）. 当0h23时，V'0

，V是单调增函数；

当23h6时，V'0，V是单调减函数. 故h23时，V取得极大值，也是最大值. 因此，当PO123

时，仓库的容积最大. 【命题意图】考查函数在实际生活的应用，利用导数研究函数的单调性，求解函数的值域。

2

20【2016高考上海理数】已知aR，函数f(x)log2(（1）当a5时，解不等式f(x)0；

1a). x（2）若关于x的方程f(x)log2[(a4)x2a5]0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；

（3）设a0，若对任意t[,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围. 【答案】（1）x,1214（2）1,23,4．（3）0,．2,．

3

（3）当0x1x2时，1111aa，log2alog2a，

x1x2x1x2所以fx在0,上单调递减．

函数fx在区间t,t1上的最大值与最小值分别为ft，ft1．

11ftft1log2alog2a1即at2a1t10，对任意

tt1t12,1成立．

因为a0，所以函数yat2a1t1在区间112,1上单调递增，t2时，有最小值313124a2，由4a20，得a3．

故a的取值范围为2,3．

【命题意图】考查函数的综合性质。

y