2.1.3 相等向量与共线向量教案2

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

湘潭市第十七中学 李亮

学习目标

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.

知识点一

向量的概念

思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

答案

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？

答案

数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理

向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二

向量的表示方法

思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？

答案

可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？

答案

0的模长为0，方向任意. 思考3 单位向量的模长是多少？

答案

单位向量的模长为1个单位长度. 梳理

(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.

→以A为起点、B为终点的有向线段记作AB. →(2)向量的字母表示：向量可以用字母a， b， c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a， →b， c). →→→→→(3)向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作|AB|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.

知识点三

相等向量与共线向量

→→思考1 已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BA相等吗？它们共线吗？

→→答案

因为向量AB和向量BA方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线. 思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

答案

不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？

答案

不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量. 梳理

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. ①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行. (3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

类型一

向量的概念

例1 下列说法正确的是(

) →→A.向量AB与向量BA的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量没有方向

D.任意两个单位向量都相等

答案

A 解析

两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A. 反思与感悟

解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有 . (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

→→(3)向量AB与BA是平行向量. 答案

(3) 解析

(1)错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系. →→(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上. →→(3)正确.向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量. 类型二

共线向量与相等向量

例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.

→(1)写出与EF共线的向量；

→(2)写出与EF的模大小相等的向量；

→(3)写出与EF相等的向量. 解

(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

1所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

2→→→→→→→→所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. →→→→→→(2)与EF模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD. →→→(3)与EF相等的向量有DB与CD. 反思与感悟

(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线. 跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.

→(1)与OA的模相等的向量有多少个？

→(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

→(3)与OA共线的向量有哪些？

→解

(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. →→(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA的长度相等、方向相反的向量有AO，→→→OD，FE，BC，共4个. →→→(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与OA共线的向量有BC，CB，→→→→→→→EF，FE，AO，OD，DO，AD，DA，共9个. 类型三

向量的表示及应用

例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. →→→(1)作出向量AB、BC、CD；

→(2)求|AD|. →→→解

(1)向量AB、BC、CD如图所示.

→→→→(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，

→→∵|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

→→→→∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km. 反思与感悟

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解

(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).

1.下列结论正确的个数是(

) ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④若|a|>|b|，则a>b. A.0 B.1 C.2 D.3 答案

B 解析

①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对. 2.下列说法错误的是(

) A.若a＝0，则|a|＝0 B.零向量是没有方向的

C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向是任意的

答案

B 解析

零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的. →→3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是(

)

→→A.AB＝DC →→C.AB>DC 答案

B →→解析

|AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等. 4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. →→B.|AB|＝|DC| →→D.AB

→→(1)写出与AF、AE相等的向量；

→(2)写出与AD模相等的向量. →→→→→→→→解

(1)AF＝BE＝CD，AE＝BD.(2)DA，CF，FC.

1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 课时作业

一、选择题

1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有(

) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

答案

C 解析

②③④⑤是向量. 2.下列说法中正确的个数是(

) ①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案

C 3.下列说法正确的是(

) A.若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B.若a∥b，b∥c，则a∥c

C.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D.若a＝b，b＝c，则a＝c

答案

D →→4.如图，在四边形ABCD中，若AB＝DC，则图中相等的向量是(

)

→→A.AD与CB →→C.AC与BD 答案

D →→B.OB与OD

→→D.AO与OC

→→→→解析

∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO＝OC. 5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(

)

→→A.与AB相等的向量只有一个(不含AB) →→B.与AB的模相等的向量有9个(不含AB) →→C.BD的模恰为DA的模的3倍

→→D.CB与DA不共线

答案

D →→→→→→→→→解析

由于AB＝DC，因此与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，CB，3→→→→→→→AD，CD，CA，BC，BA，因此选项B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴|DO|＝|DA|，2→→→→→→故|DB|＝3|DA|，因此选项C正确.由于CB＝DA，因此CB与DA是共线的，故选D. 6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(

)

→→A.|AB|＝|EF| →→B.AB与FH共线

→→C.BD与EH共线

→→D.CD＝FG

答案

C 7.以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是(

)

A.0 B.1 C.2 D.3 答案

C 解析

②④错误. 二、填空题

→→→→8.在四边形ABCD中，若AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为 . 答案

菱形

→→解析

∵AB＝DC，∴AB綊DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

→→∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形. 9.给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 .(填序号) 答案

①③④

解析

相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立. 10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：

→(1)图中与AB共线的向量有 ；

→(2)图中与AB相等的向量有 ；

→(3)图中与AB的模相等的向量有 ；

→(4)图中与EC相等的向量有 . →→→→→→→答案

(1)DC，BE，BA，CD，EB，AE，EA

→→(2)DC，BE

→→→→→→→→→(3)BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB

→(4)BD

三、解答题

11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.

→→→→(1)画出AD，DC，CB，AB；

(2)求B地相对于A地的位置向量. →→→→解

(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示.

→→(2)由题意知AD＝BC，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，

→→∴AB＝DC，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”.

→→→12.如图，已知AA′＝BB′＝CC′.求证：

(1)△ABC≌△A′B′C′；

→———→→———→(2)AB＝A′B′，AC＝A′C′. →→证明

(1)∵AA′＝BB′，

→→→→∴|AA′|＝|BB′|，且AA′∥BB′. →又∵点A不在BB′上，∴AA′∥BB′，

∴四边形AA′B′B是平行四边形，

→→∴|AB|＝|A′B′|. →———→→———→同理|AC|＝|A′C′|，|BC|＝|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′.

(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，

→———→→———→∴AB∥A′B′，且|AB|＝|A′B′|，

→———→→———→∴AB＝A′B′.同理可证AC＝A′C′.

13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5. →

→(1)画出所有的向量AC；

→(2)求|BC|的最大值与最小值. →解

(1)画出所有的向量AC，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，

→22|BC|取得最小值1＋2＝5；

②当点C位于点C5或C6时，

→22|BC|取得最大值4＋5＝41. →所以|BC|的最大值为41，最小值为5. 四、探究与拓展

14.设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是 .(填序号) ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0. 答案

③

15.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.

→(1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量；

→(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量；

→→(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量. →→解

(1)与DE长度相等的向量是EF，

→→→→→→→FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB. →→→(2)与FD相等的向量是CE，EB. →→→→(3)与DE共线的向量是AC，AF，FC；

→→→→与FD共线的向量是CE，EB，CB.