复习参考题教学设计

三角函数正弦定理和余弦定理应用举例

导学目标：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

自主梳理

1．仰角和俯角

与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)

2．方位角

一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．

3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．

②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．

③南偏西等其他方向角类似．

4．坡角

坡面与水平面的夹角．(如图所示) 5．坡比

h坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)．

l6．解题的基本思路

运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．

自我检测

1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是

(

) A．α>β

B．α＝β

C．α＋β＝90°

D．α＋β＝180°

2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的

(

)

A．北偏东10°

B．北偏西10°

C．南偏东10°

D．南偏西10°

3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是

(

)

A．α，a，b

B．α，β，a

C．a，b，γ

D．α，β，b

4．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m. 535．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，135求AD.

探究点一

与距离有关的问题

例1

(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

变式迁移1

某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？

探究点二

测量高度问题

例2

如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

变式迁移2

某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

探究点三

三角形中最值问题

例3

(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？

变式迁移3

(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．

1．解三角形的一般步骤

(1)分析题意，准确理解题意．

分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．

(2)根据题意画出示意图．

(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．

(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．

2．应用举例中常见几种题型

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为

(

) 53A.

B.

18437C.

D.

282．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为

(

)

A．502 m

B．503 m 252C．252 m

D.

m 213．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为

(

) 39292A.

B.

2492C.

D．92 84．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是3

km，那么x的值为

(

) A.3

B．23 C.3或23

D．3 5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时

(

) A．5海里

B．53海里

C．10海里

D．103海里

1

2

3

4

5 题号

答案

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．

7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．

8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．

三、解答题(共38分) 9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．

10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？

11．(14分)(2009·福建)如图，

某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°. (1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

答案

自我检测

1．B

2.B

3.A 4004.

33π5．解

由cos∠ADC＝＞0知B＜，

52124由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，

135从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B

4123533＝×－×＝. 51351365ADBD由正弦定理得，＝，

sin Bsin∠BAD533×13BD·sin B所以AD＝＝＝25. 33sin∠BAD65课堂活动区

例1

解题导引

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

解

由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. DBAB在△DAB中，由正弦定理，得＝，

sin∠DABsin∠ADBAB·sin∠DAB53＋3·sin 45°∴DB＝＝

sin 105°sin∠ADB53＋3·sin 45°＝＝103(海里)．

sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，

在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－12×103×203×

2＝900，∴CD＝30(海里)，

30∴需要的时间t＝＝1(小时)．

30故救援船到达D点需要1小时．

变式迁移1

解

如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，

22231＋20－2123cos B＝＝，

312×31×20123所以sin B＝. 31BC·sin B在△ABC中，AC＝＝24，

sin A由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，

得AB2－24AB－385＝0，

解得AB＝35，AB＝－11(舍)，

所以AD＝AB－BD＝15. 故此人在D处距A还有15千米．

例2

解题导引

在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．

解

在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. BCCD由正弦定理得＝，

sin∠BDCsin∠CBDCD·sin∠BDCs·sin β所以BC＝＝，

sin∠CBDsinα＋β在Rt△ABC中，

s·tan

θsin βAB＝BCtan∠ACB＝. sinα＋β变式迁移2

解

由题意可知，在△BCD中，CD＝40，

∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，

CD由正弦定理得，

sin∠DBCBD＝，

sin∠BCD40sin 30°∴BD＝＝202. sin 135°

过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，

测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°. 在Rt△BED中，

又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°. 6－2∴BE＝DB·sin 15°＝202×＝10(3－1)．

4在Rt△ABE中，

10AB＝BE·tan 30°＝(3－3)(米)．

310故所求的塔高为(3－3)米．

3例3

解题导引

平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．

解

HhH(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，

tan αtan βtan βHhH得＋＝，

tan αtan βtan

β4×1.24htan α解得H＝＝＝124(m)．

tan α－tan β1.24－1.20因此，算出的电视塔的高度H是124 m. H(2)由题设知d＝AB，得tan α＝. dH－hHh由AB＝AD－BD＝－，得tan β＝. tan βtan βdtan α－tan β所以tan(α－β)＝

1＋tan αtan

βhh＝≤，

HH－h2HH－hd＋dHH－h当且仅当d＝，

d即d＝HH－h＝125×125－4＝555时，

上式取等号，所以当d＝555时，tan(α－β)最大．

ππ因为0<β<α<，则0<α－β<，

22所以当d＝555时，α－β最大．

变式迁移3

解

设∠POB＝θ，四边形面积为y，

则在△POC中，由余弦定理得

PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos θ＝5－4cos θ. 13∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin θ＋(5－4cos θ) 24

π53＝2sin(θ－)＋. 34ππ5π53∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋. 326453所以四边形OPDC面积的最大值为2＋. 4课后练习区

1．D

2.A

3.C

4.C

5.C 6．302 km

7.0.6 708.

43

解析

如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t. 因为AB＝200，所以BD＝200－80t，

问题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos 60°

22＝(200－80t)＋2500t－(200－80t)·50t

2＝12900t－42000t＋40000. 70∴当t＝时，DE最小．

439．解

在△ACD中，∠DAC＝30°，

∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，

所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，

所以△ABC≌△CBD，

所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分) ABAC在△ABC中，＝，

sin∠BCAsin∠ABCAC·sin 60°32＋6即AB＝＝，…………………………………………………………(10sin 15°20分) 32＋6所以BD＝≈0.33(km)．

20故B、D的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解

如图，连接A1B2，由题意知，

A1B1＝20，A2B2＝102，

20A1A2＝×302＝102(海里)．…………………………………………………………(260分) 又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分) 在△A1B2B1中，由余弦定理得

22B1B2A1B2cos 45°

2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·2＝202＋(102)2－2×20×102×＝200，

2∴B1B2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分) 因此乙船的速度大小为

102×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(1220分) 11．解

T方法一

(1)依题意，有A＝23，＝3，

42πππ又T＝，∴ω＝.∴y＝23sinx.(3分) ω662π当x＝4时，y＝23sin＝3，∴M(4,3)．

3

又P(8,0)，∴MP＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分) (2)如图，连接MP，在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5. 设∠PMN＝θ，

则0°<θ<60°. MPNPMN由正弦定理得＝＝，

sin 120°sin θsin60°－θ103103∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，…………………………………………(8分) 33103103∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ) 3310313＝103sin(θ＋60°＝)．…………………………………………(12sin θ＋cos θ3232分) ∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．

即将∠PMN设计为30°时，

折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分) 方法二

(1)同方法一．

(2)连结MP.在△MNP中，∠MNP＝120°.MP＝5，

22由余弦定理得，MN＋NP－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.………………………………(8分) 即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.

MN＋NP22，

……………………………………………………………………………………………(10故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤分) 3103从而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤. 43当且仅当MN＝NP时等号成立．

即设计为MN＝NP时，

折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分)