探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课教案整理

高三一轮复习:2.5 二次函数

付尚英

2.5二次函数

一、考纲要求

1、掌握二次函数的概念、图像特征

2、掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值

3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式（三个二次）之间的紧密关系，提高解综合问题的能力。

二、高考趋势

由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，加上三次函数的导数是二次函数，因此二次函数在高中数学中应用十分广泛，一直是高考的热点，特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点，另外二次函数的应用问题也是高考的热点。

三、教材分析

教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．

教学重难点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．（一）

主要知识：

二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．

二次函数的图象及性质；

二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：自主探究、讲练结合法 四、教学过程

（一）考点精讲

1、二次函数的解析式

（1）

一般式： （2）

顶点式： （3）

两根式： 求二次函数解析式的方法： 1已知 时，宜用一般式

○2已知 时，常使用顶点式

○3已知 时，用双根式更方便

○2、二次函数的图像和性质

二次函数fxax2bxc(a0)的图像是一条抛物线，对称轴的方程为

，顶点坐标是（ ） 。

（1）当a0时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，b当x时，函数有最 值为 2a（2）当a0时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递增，当bx时，函数有最 值

为 。 2a（3）当 时，恒有

fx.0

；当 时，恒有

fx.0

。

（4）二次函数fxax2bxc(a0)，当b24ac0时，图像与x轴有两个交点，M1(x1,0),M2(x2,0),M1M2x1x2

.

a1

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（二）考点精炼

21．函数f(x)＝4x－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(

) A．f(1)≥25

B．f(1)＝25 C．f(1)≤25

解析：由题知，≤－2，∴m≤－16. 8∴f(1)＝9－m≥25. 答案：A

D．f(1)＞25 m22．已知函数f(x)＝x－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝(

) A．3

B．2或3

C．2

D．1或2 2解析：∵f(x)＝(x－1)＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)2＝b，∴b－3b＋2＝0，∴b＝2，或b＝1(舍去). 答案：C 3．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(

) 2＝f(b)，∴f(b)＝b，即b－2b＋2maxbA．－ 2abB．－ C．c a

4ac－b2D.

4a

解析：由已知f(x1)＝f(x2)，且f(x)的图像关于x＝－b对称，

2abbb2b∴x1＋x2＝－. ∴f(x1＋x2)＝f(－)＝a·2－b·＋c＝c. aaaa224．若函数f(x)＝(a－1)x＋(a－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是(

) A．减函数 B．增函数 C．常函数 D．可能是减函数，也可能是常函数

2解析：∵f(x)是偶函数，∴a－1＝0，即a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝1为常函数；

2当a＝－1时，f(x)＝－2x＋1，在[0，＋∞)上为减函数.

答案：D 5. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，求函数f(x)的解析式．

解析：令f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)．

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，

2a＝2，∴2ax＋(a＋b)＝2x，∴a＋b＝0，∴f(x)＝x2－x＋1. （三）例题精讲

题型一

求二次函数的解析式

2

a＝1，得b＝－1，

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例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．

解析：方法一(利用二次函数一般式)：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，由题意，得4ac－b4a＝8，2

a＝－4，解之得b＝4，c＝7.

∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7. 解析：方法二(利用二次函数顶点式)：

设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线对称轴为x＝2＋－211＝.∴m＝. 22又根据题意函数有最大值为n＝8，

12x－＋8. ∴y＝f(x)＝a2∵f(2)＝－1，

12∴a2－＋8＝－1，解之得a＝－4. 21∴f(x)＝－4x－2＋8＝－4x2＋4x＋7. 2解析：方法三(利用两根式)：

由已知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)．即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－4a－a2＝8. 解之得a＝－4，或a＝0(舍去)．

1故所求函数解析式为：f(x)＝－4x－2＋8＝－4x2＋4x＋7. 2题型二

二次函数的图像和性质

13例2 已知函数f(x)＝x2－3x－. 24(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；

3

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4175(2)已知f＝－，不计算函数值，求f；

822115(3)不直接计算函数值，试比较f－与f－的大小．

441231212解析：∵f(x)＝x－3x－＝(x－3)－，

242421(1)所以函数的顶点坐标为(3，－)，对称轴为x＝3. 47415171(2)∵f()＝－，又|－3|＝，|－3|＝，

282222∴结合二次函数的对称性，可知

f()＝f()＝－. 121(3)由f(x)＝(x－3)2－，可知

245272418f(x)在x∈(－∞，3]上是单调递减函数．

题型三

二次函数的最值与值域

2例3 求函数y＝x－2ax－1在[0,2]上的值域．

222解析：y＝x－2ax－1＝(x－a)－a－1，

∴函数的对称轴为x＝a. ①当a＜0时，ymin＝f(0)＝－1，

ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，

所以函数的值域为[－1,3－4a]．

②当0≤a≤1时，ymin2＝f(a)＝－(a＋1)，

ymax＝f(2)＝3－4a，

2所以函数的值域为[－(a＋1)，3－4a]．

③当1＜a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，

ymax＝f(0)＝－1，

所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．

④当a＞2时，ymin＝f(2)＝3－4a，

4

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ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．

综上，当a＜0时，函数的值域为[－1，－4a]；

当0≤a≤1时，函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]；

当1＜a≤2时，函数的值域为[－(a2＋1)，－1]；

当a＞2时，函数的值域为[3－4a，－1]．

题型四

二次函数的综合应用

2例4 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．

11解析：当a＞0时，f(x)＝ax－2－. aaa≤1，∴f11

≥4，或af41a－2＋2≥0，

11＜＜4，a或11fa2－a＞0，

16a－8＋2≥0.

a≥1，∴a≥0，

14＜a＜1，或1a＞2，

1a≤，4或3a≥8.11∴a≥1，或＜a＜1，或∅，即a＞. 22f当a＜0时，f＝a－2＋2≥0，＝16a－8＋2≥0，

解得a∈∅. 当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．

1综上，可得实数a的取值范围是a＞. 2

解后反思：二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号，四个方面分析．在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．

方法技巧：1．二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式和两根式．根据已知条件灵活选用．

2．二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系，因此单调性的判断通常用数形结合法来判断．

失误防范：1．当二次函数的解析式的二次项系数含有字母时，一定要对二次项系数是否为零进行分类讨论．2．求二次函数的最值问题，当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．

5

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（四）随堂反馈

21．已知函数y＝ax＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(

)

解析：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，

2∴y＝ax＋bx＋c的图像开口向上，且不过原点. 答案：D

22．已知函数f(x)＝－x＋4x＋a，x∈[0,1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 2解析：f(x)＝－x＋4x＋a在x∈[0,1]上的最小值为f(0)＝a，

22故a＝－2.∴f(x)＝－x＋4x－2，它在[0,1]上的最大值为f(1)＝－1＋4×1－2＝1，答案：C 3．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝__________.

2解析：设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．

2∵f(0)＝1，∴c＝1，即f(x)＝ax＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x，

22∴a(x＋1)＋b(x＋1)－ax－bx＝2x. ∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1，

22即f(x)＝x－x＋1. 答案：x－x＋1

24．抛物线y＝8x－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________. 解析：由m－－m－4×82＝0，得m＝9或25. 答案：9或25 5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．

解析：由题意，知f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2⇒a＝2，b＝－3. 所以f(2x－3)＝4x2－8x＋5＝0，Δ＜0，所以解集为∅. 答案：∅

（五）课堂总结和课下作业

•

1、说出本节课你的收获

•

2、课下作业:高效作业P173 A组1~9题和12题

B组1~12题

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付尚英

1、设f(x)=lg(ax2-2x+a) (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围；

（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围。

72．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋a的对称轴为x＝，且方程f(x)－(7x＋a)＝0有两个相等的实数根．

4(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[1,3]上的值域；

(3)是否存在实数m(m＞0)？使f(x)的定义域为[m,3]，值域为[1,3m]若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

7解析：(1)因为函数f(x)的对称轴为x＝，

477所以b＝－a，所以f(x)＝ax2－ax＋a. 227又方程ax2－a＋7x＝0有两个相等的实数根，

27则Δ＝a＋72＝0，所以a＝－2，

2故f(x)＝－2x2＋7x－2. 7233(2)f(x)＝－2x－＋，x∈[1,3]，

48733当x＝时，f(x)max＝；

48当x＝3时，f(x)min＝1. 331，. 所以f(x)在[1,3]上的值域为8(3)存在这样的m. 7当＜m＜3时，f(x)在[m,3]上为减函数，

4∴3m＝－2m2＋7m－2，解得m＝1(舍去)．

733当m≤时，f(x)在[m,3]上的最大值为，

48∴33111117＝3m，∴m＝，而∈，，

8882411∴m＝.

8

7