探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期公开课参赛课教案

1.3 三角函数的诱导公式

第1课时

诱导公式二、三、四

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．

(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．

(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．

(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．

2．归纳总结，核心必记

(1)特殊角的终边对称性

①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；

②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；

③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.

(2)诱导公式

公式一

sin(α＋2kπ)＝sin cos(α＋2kπ)＝cos α

α

tan(α＋2kπ)＝tan_α

1

讲一讲

1．求下列三角函数值：

119π(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°； (3)cos. 6[尝试解答] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－3. 2(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. π119ππ3π(3)cos＝cos20π－＝cos－＝cos＝. 66626

利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

1．求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．

解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°

＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°

＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°

＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°

＝23316－3－4×－×－1＝. 22224

讲一讲

3

cos（－α）tan（7π＋α）2．(1)化简：＝________；

sin（π－α）sin（1 440°＋α）·cos（α－1 080°）(2)化简＝________．

cos（－180°－α）·sin（－α－180°）[尝试解答]

(1)cos（－α）tan（7π＋α）cos αtan（π＋α）＝＝sin（π－α）sin αcos α·tan αsin α＝＝1. sin αsin αsin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）(2)原式＝

cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝sin α·cos（－α）cos α＝＝－1. （－cos α）·sin α－cos α答案：(1)1 (2)－1

利用诱导公式一～四化简应注意的问题

(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；

(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；

(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．

练一练

sin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]2．化简：(k∈Z)．

sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）解：当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1，n∈Z，

sin[（2n＋2）π＋θ]·cos[（2n＋2）π－θ]则原式＝

sin（2nπ＋π－θ）·cos（2nπ＋π＋θ）＝＝sin θ·cos θ

sin（π－θ）·cos（π＋θ）sin θ·cos θ＝－1；

sin θ·（－cos θ）当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，

sin[（2n＋1）π＋θ]·cos[（2n＋1）π－θ]则原式＝

sin（2nπ－θ）·cos（2nπ＋θ）＝＝sin（π＋θ）·cos（π－θ）

sin（－θ）·cos θ－sin θ·（－cos θ）＝－1. －sin θ·cos θsin[（k＋1）π＋θ]·cos[（k＋1）π－θ]综上，＝－1. sin（kπ－θ）·cos（kπ＋θ）

4

讲一讲

13．(1)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(

) 311A．1 B．－1 C. D．－

331(2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．

3[尝试解答] (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，

1∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－. 31(2)∵cos(α－55°)＝－＜0，且α是第四象限角．

3∴α－55°是第三象限角．

222∴sin(α－55°)＝－1－cos（α－55°）＝－. 3∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，

∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] 22＝－sin(α－55°)＝. 322答案：(1)D (2)

3

解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．

练一练

1π3．(1)若sin(π＋α)＝，α∈－，0，则tan(π－α)等于(

) 22133A．－ B．－ C．－3 D.

2233(2)已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是(

) 54343A. B. C．－ D．－

3434解：(1)因为sin(π＋α)＝－sin α，

1根据条件得sin α＝－，

2

5

3π2又α∈－，0，所以cos α＝

1－sinα＝. 22sin α13所以tan α＝＝－＝－. cos α33所以tan(π－α)＝－tan α＝3. 33(2)因为sin α＝且α为第二象限角，

542所以cos α＝－1－sin

α＝－，

5sin α3所以tan α＝＝－. cos α43所以 tan(π＋α)＝tan α＝－.故选D. 4答案：(1)D (2)D ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．

2．要掌握诱导公式的三个应用

(1)解决给角求值问题，见讲1；

(2)解决化简求值问题，见讲2；

(3)解决给值(式)求值问题，见讲3. 3．本节课要牢记诱导公式的内容

(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f(π＋α)＝±f(α)，f(－α)＝±f(α)，f(π－α)＝±f(α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．

(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式，不必限定α为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限”时，都把α看作锐角记忆，即便α不是锐角，上述公式也全部成立．

课下能力提升(六)

6

[学业水平达标练] 题组1 给角求值问题

1．cos 300°等于(

) A．－3113 B．－ C. D.

22221解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝. 22.解cos（－585°）的值等于________．

sin 495°＋sin（－570°）析：原式＝cos（360°＋225°）sin（360°＋135°）－sin（360°＋210°）－22＝cos（180°＋45°）＝＝2－2. sin（180°－45°）－sin（180°＋30°）21＋22答案：2－2 题组2 化简求值问题

3．sin(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为(

) A．1 B．2sinα C．0 D．2 解析：选D 原式＝(－sin α)－(－cos α)cos α＋1＝sin

α＋cosα＋1＝2. 4.2＋2sin（2π－θ）－cos（π＋θ）可化简为________．

解析：2＋2sin（2π－θ）－cos（π＋θ）

＝2＋2sin（－θ）－cosθ

＝1－2sin θ＋sinθ＝|1－sin θ|＝1－sin θ. 答案：1－sin θ

tan（2π－θ）sin（2π－θ）cos（6π－θ）5．化简：. （－cos θ）sin（5π＋θ）tan（－θ）sin（－θ）cos（－θ）tan θsin θcos θ解：原式＝＝＝tan θ. （－cos θ）sin（π＋θ）cos θsin θ题组3 给值(式)求值问题

46．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(

) 53334A．－ B. C．± D.

555544解析：选B 由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，而cos(α－2π)＝cos α，且α55是第四象限角，

7 222222222

32∴cos α＝1－sin

α＝. 5127．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．

13解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α12)＝cos(148°－α)＝，

13所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：1213

8．已知cos α＝1πcos（－α－π）·sin（2π＋α）3，且－2＜α＜0，求cos（－α）·cos（π＋α）的值．解：∵－π2＜α＜0，

2∴sin α＝－1－cos2α＝－1－1232＝－3. 原式＝－cos α·sin αcos α·（－cos α）＝sin α22cos α＝－3×3＝－22. [能力提升综合练] 1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P5－5，255，则cos(π－θ)的值为(

A．－255 B．－55

C.5255 D.5

解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－55，

∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 2．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(

) A.1－k21－k2k B．－k

) 8

C. D.2

21－k1－k2kk解析：选B ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k，∴tan 80°＝1－k2k，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k. π12π3．已知tan－α＝，则tan＋α＝(

) 33311A. B．－

33C.2323 D．－

33解析：选B ∵tan2π＋α＝tanπ－π－α

33π＝－tan－α，

3∴tan2π＋α＝－1. 33π3π34．若α∈，，tan(α－7π)＝－，则sin α＋cos α的值为(

) 24211A．± B．－

5517C. D．－

55解析：选B ∵tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，

3sin α3∴tan α＝－，∴＝－，

4cos α4π3π22∵cosα＋sinα＝1，α∈，，

22431∴cos α＝－，sin α＝，∴sin α＋cos α＝－. 5555．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 016)＝－1，则f(2 017)的值为________．

解析：∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＝－1，

∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin[π＋(2 016π＋α)]＋bcos[π＋(2 016π＋β)] ＝－[asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)]＝1. 答案：1

9

sin πx（x＜0），11116．已知f(x)＝则f－＋f的值为________．

66f（x－1）－1（x＞0），ππ11111115解析：因为f－＝sin－π＝sin－2π＋＝sin＝；f＝f－1＝6626666f－－2＝sin－－2＝－－2＝－. 661π12521111所以f－＋f＝－2. 66答案：－2 7．化简：解：原式＝1＋2sin 280°·cos 440°. sin 260°＋cos 800°1＋2sin（360°－80°）·cos（360°＋80°）

sin（180°＋80°）＋cos（720°＋80°）＝1－2sin 80°·cos 80°

－sin 80°＋cos 80°22sin80°＋cos80°－2sin 80°·cos 80°＝

－sin 80°＋cos 80°（sin 80°－cos 80°）＝

－sin 80°＋cos 80°＝＝|cos 80°－sin 80°|

cos 80°－sin 80°sin 80°－cos 80°＝－1. cos 80°－sin 80°21＋tan（θ＋720°）28．已知＝3＋22，求：[cos(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π1－tan（θ－360°）12－θ)＋2sin(θ－π)]·2的值．

cos（－θ－2π）1＋tan（θ＋720°）解：由＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝1－tan（θ－360°）2＋224＋22＝2，

222故[cos(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin(θ－π)]·＝(cosθ＋

21cos（－θ－2π）2122222sin θcos θ＋2sinθ)·＝1＋tan θ＋2tanθ＝1＋＋2×＝2＋. 2cosθ2222第2课时

诱导公式五、六

10

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．

如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.

(1)P2点的坐标是什么？

提示：P2(y，x)．

π(2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关2系？

ππ提示：对称．sin－α＝cos_α，cos－α＝sin_α．

222．归纳总结，核心必记

(1)诱导公式五和公式六

(2)诱导公式的记忆

π诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

2①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．

π②“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．

211

ππ③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，22二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

[问题思考] (1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？

提示：是．

AB＋C(2)在△ABC中，角与角的三角函数值满足哪些等量关系？

22AπB＋C提示：∵A＋B＋C＝π，∴＝－，

222AπB＋C＝cosB＋C，

∴sin＝sin－2222AπB＋C＝sinB＋C．

cos＝cos－2222[课前反思] (1)诱导公式五：

；

(2)诱导公式六：

．

讲一讲

3πsin（π－α）cos（2π－α）cos－α＋21．已知f(α)＝. πcos－αsin(－π－α)2(1)化简f(α)；

3π1(2)若α为第三象限角，且cosα－＝，求f(α)的值；

2531π(3)若α＝－，求f(α)的值．

3sin αcos α(－sin α[尝试解答] (1)f(α)＝sin αsin α3π1(2)∵cosα－＝－sin α＝，

25)＝－cos α.

12

1∴sin α＝－，

5又∵α为第三象限角，

262∴cos α＝－1－sinα＝－，

526∴f(α)＝. 531π＝－cos－31π

(3)f－335π5ππ1＝－cos－6×2π＋＝－cos＝－cos＝－. 3332

三角函数式化简的方法和技巧

(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．

(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．

练一练

3π3π2sin－α－·sin－α·tan（2π－α）221．化简：. ππ2cos－α·cos＋α·cos(π－α)22ππ2sin－α＋·－sin－α·tan（2π－α）22解：原式＝

ππ2cos－α·cos＋α·cos（π－α）22cos α·（－cos α）·tanαtanα1＝＝2＝. 22sin α·（－sin α）·cosαsinαcosα

讲一讲

2．(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(

) A.1－m222m B.1－m

221－m2C．－ D．－1－m

mπ1π(2)已知sin－α＝，则cos＋α的值为________．

326[尝试解答] (1)sin 239°tan 149°

＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)

13

＝－sin 59°(－tan 31°) ＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°) ＝sin 31°＝1－cos31°＝1－m. (2)cosππ＋α＝cosπ－－α62322＝sinπ－α＝1. 321答案：(1)B (2)

2

解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

练一练

1π2．已知cos(π＋α)＝－，求cos＋α221解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，

21∴cos α＝，

2∴α为第一或第四象限角．

①若α为第一象限角，

则cos的值．

π＋α＝－sin α＝－1－cos2α

2311－＝－；

222＝－②若α为第四象限角，

则cosπ＋α＝－sin α

22＝1－cosα＝311－＝. 22

2讲一讲

tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）3．求证：＝－tan α. 3π3πsin＋αcos＋α22

14

tan（－α）sin（－α） cos（－α）[尝试解答] 左边＝

ππsin2π－－αcos2π－－α22＝（－tan α）（－sin α）cos α

ππsin－－αcos－－α22sinα2＝ππ－sin－αcos－α222

sinαsin α＝＝－＝－tan α＝右边．

－cos αsin αcos α即原等式成立．

三角恒等式的证明策略

对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．

练一练

π11π－θsin（2π－θ）cos（π＋θ）cos＋θcos223．求证：9π＋θcos（π－θ）sin（3π－θ）sin（－π－θ）sin2π11π－θsin（2π－θ）cos（π＋θ）cos＋θcos22证明：9πcos（π－θ）sin（3π－θ）sin（－π－θ）sin＋θ2－sin θ·（－cos θ）·（－sin θ）·cos＝＝－tan θ. 

3π－θ2π－cos θ·sin θ·sin θ·sin＋θ2

＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ＝－tan θ. －cos θ·sin θ·sin θ·cos θ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．

2．要掌握诱导公式的三个应用

(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1；

(2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2；

(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3.

15

3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧

ππππππππππ＋α＝－－α⇔＋α＋－α＝，＋α＝－－α⇔＋α6232463244＋等π－α4＝π2，5π＋α6－π＋α3＝π2．

课下能力提升(七) [学业水平达标练] 题组1 化简求值

π1．下列与sinθ－的值相等的式子为(

) 2A．sinC．cosπ＋θ B．cosπ＋θ

223π－θ D．sin3π＋θ

22ππθ－解析：选D 因为sin＝－sin－θ＝－cos θ，

22π对于A，sin＋θ＝cos θ；

2π对于B，cos＋θ＝－sin θ；

2对于C，cos3π－θ＝cosπ＋π－θ

22π＝－cos－θ＝－sin θ；

2对于D，sin3π＋θ＝sinπ＋π＋θ

22π＝－sin＋θ＝－cos θ. 23π2．化简：sin(－α－7π)·cosα－＝________．

2解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos3π－α＝－sin(π＋α)·－cosπ－α＝22

16

sin α·(－sin α)＝－sinα. 答案：－sinα

113．化简：2＋. tan（－α）π3πsin－α·cosα－·tan（π＋α）22解：∵tan(－α)＝－tan α，sin22π－α2＝cos α，

3π3πcosα－＝cos－α＝－sin α，

22tan(π＋α)＝tan α，

1111cosα－1∴原式＝2＋＝2＋＝＝－22tanαcos α·（－sin α）·tan αsinα－sinαsinα2cosαsinα＝－1. 2sinα题组2 条件求值问题

22πsin＋θ24．已知tan θ＝2，则πsin－θ22A．2 B．－2 C．0 D.

3－cos（π－θ）等于(

) －sin（π－θ）cos θ＋cos θ2cos θ2解析：选B 原式＝＝＝＝－2. cos θ－sin θcos θ－sin θ1－tan θ5．若sin(π＋α)＋cos22A．－m B.m

3333C．－m D.m

22解析：选C ∵sin(π＋α)＋cos∴cosπ＋α＝－m，3π则cos－α＋2sin(2π－α)的值为(

) 22π＋α＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝m. 223π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m＝－3m. 22216．已知cos(60°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为(

) 32222A．－ B.

33

17

C．－22 D.

33解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋1α)＝＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°3－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos（60°＋α）＝

－2211－＝－. 3347．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________．

54解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝＞0，

5知85°＋α是第四象限角，

3∴sin(85°＋α)＝－，

5sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°3＋α)＝. 53答案：

58．已知sin α是方程3x－10x－8＝0的根，且α222为第三象限角，求3π3π2sinα＋·sin－α·tan（2π－α）·tan（π－α）22的值．

ππcos－α·cos＋α2222解：∵方程3x－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，

32又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－. 3又∵α为第三象限角，

∴cos α＝－1－sinα＝－2525，tan α＝. 352（－cos α）·（－cos α）·tanα·（－tan α）∴原式＝

sin α·（－sin α）25＝tan α＝. 5题组3 三角恒等式的证明

18

3π－αcos（6π－α）tan（2π－α）cos29．求证：＝1. 3π3πtan（π－α）sinα＋cosα＋22πtan（－α）－cos－αcos（－α）2证明：左边＝

ππ（－tan α）－sin＋α－cos＋α22＝（－tan α）（－sin α）cos α＝1＝右边．∴原式成立．

（－tan α）（－cos α）sin αcos（π－θ）10．求证：＋

3πcos θsin－θ－12cos（2π－θ）π3πcos（π＋θ）sin＋θ－sin＋θ22证明：左边＝＝2. 2sinθ－cos θcos θ1＋＝＋cos θ（－cos θ－1）－cos θcos θ＋cos θ1＋cos θ11－cos θ＋1＋cos θ22＝＝＝＝右边．∴原式成立．

221－cos θ（1＋cos θ）（1－cos θ）1－cosθsinθ[能力提升综合练] 1π1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin＋A等于(

) 2211A．－ B.

22C．－33 D.

221解析：选B cos(π＋A)＝－cos A＝－，

21∴cos A＝，

21π∴sin＋A＝cos A＝. 22π1π2．已知sinα＋＝，α∈－，0，则tan α的值为(

) 232A．－22 B．22 C．－22 D.

441解析：选A 由已知得，cos α＝，

3

19

π又α∈－，0，

2所以sin α＝－1－cosα＝－sin α因此，tan α＝＝－22. cos α13．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为(

) 311A．－ B.

332222C．－ D.

33解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，

∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)] 1＝sin(75°＋α)＝. 34．在△ABC中，下列各表达式为常数的是(

) A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A

C．sin221221－＝－. 93A＋BA＋BC2C＋sin D．sinsin

22222解析：选C sin2A＋B＋sin＝sin2222C2π－C2C2C2C＋sin＝cos＋sin＝1. 222225．sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°＝________．

解析：将sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°中的首末两项相加得1，第二项与12倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin45°＝，

2892222则sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°＝. 289答案：

26．已知tan(3π＋α22222)＝2，

＝________．

ππsin（α－3π）＋cos（π－α）＋sin－α－2cos＋α22则－sin（－α）＋cos（π＋α）解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，

sin（α－π）－cos α＋cos α＋2sin α则原式＝

sin α－cos α

20

＝＝＝－sin α＋2sin α

sin α－cos αsin α

sin α－cos αtan α2＝＝2. tan α－12－1答案：2 7．已知sin α是方程5x－7x－6＝0的根，且α3π3πsin－α－cos－α22ππcos－αsin＋α222是第三象限角，求·tan(π－α)的值．

2π－sinπ＋＋α2解：原式＝sin αcosπ＋π－α2cos α·tanα

2π－sin＋α2＝sin α＝cosπ－α2cos α·tanα

2－cos αsin α22·tanα＝－tanα. sin αcos α32方程5x－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，

5又α是第三象限角，

34∴sin α＝－，cos α＝－，

55392∴tan α＝，故原式＝－tanα＝－. 416ππ8．是否存在角α，β，α∈－，，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝222πcos－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若2不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件，

sin α＝2sin β，

①则

3cos α＝2cos β， ②由①＋②得sinα＋3cosα＝2. 12∴sinα＝，

22222

21

∴sin α＝±22. ∵α∈－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，cos β＝32，

∵0＜β＜π，

∴β＝π6；

当α＝－π34时，cos β＝2，

∵0＜β＜π，

∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．

22