2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

教材分析

本节所讨论的问题是上一小结所讨论问题的深入，同时为平面向量的坐标表示奠定了理论基础.教材通过学生熟悉的力的分解问题，引入本节主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的紧密联系.向量的分解实际上是平面向量基本定理的一个应用，平面内进行向量的正交分解会给研究问题带来方便.“思考”中，通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，让学生思考在平面直角坐标系中表示一个平面向量的方法，联系平面向量的基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，分析得出平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，从而实现向量的量化表示. 本小节课本只安排例2，要求学生用基底表示向量，其关键在于把向量表示为基底的线性组合.一种方法是把向量正交分解；另一种方法是把向量起点平移到坐标原点.另外，本例题还可以通过四个向量之间位置的对称关系，由一个向量的坐标推导出其他向量的坐标。从例2还可以得到启示，要充分利用图形之间的几何关系，求向量坐标. 学情分析

学生在物理课中已经学过力的分解，所以容易接受向量的分解这一知识.但对平面向量的基本定理的理解和熟练应用是学生学习的一个难点.向量的正交分解和坐标表示是平面向量的一个应用，学生较易学习和掌握. 教学目标

知识与技能

掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 过程与方法

通过探究正交分解及坐标表示的过程，让学生体验数学知识的产生、形成过程.培养学生观察、发现问题的能力，加强思维能力训练

情感态度价值观

用实例激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识. 教学重难点

重点：平面向量的坐标表示

难点：对向量的坐标表示的理解及其应用

教学过程

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平

面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量. 二、讲解新课：

1. 平面向量的正交分解

如图，光滑斜面上一个物块受重力G可以分解为垂直于斜面的力F2以及平行于斜面的力F1：

像这种，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.

平面向量的坐标表示

思考：在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序数实数（即坐标）表示.那么对于直角坐标平面内的向量，如何表示呢？

为了研究这个问题，我们把向量放进直角坐标系中，如图：

将其平移到起点与坐标原点重合，再将其正交分解，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，利用平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示.

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 思考：如果以原点为起点作向量OAa，则点A的坐标与向量a的坐标有什么关系？

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.



设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、讲解范例：

例2 分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出他们的坐标. 解：由图可知，aAA1AA22i3j

a(2,3).

同理，

b2i3j(2,3);c2i3j(2,3);d2i3j(2,3).还有其他方法吗？

一：根据图中的对称关系：b与a关于y轴对称，所以坐标也是对称的，

y轴坐标不变，x轴变为相反数，即b(2,3)，同理得到其他向量坐标. 二：将向量起点平移到坐标原点，则终点坐标就是向量的坐标. 四、归纳小结：

平面向量正交分解及坐标表示；利用数形结合的思想

五、课后作业

练习册2.3.2 板书设计

一、复习引入

二、

1.平面向量正交分解

2.平面向量坐标表示

三、讲解实例

例2

四、归纳小结

五、布置作业