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勾股定理期末复习

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一．知识点：

1.

勾股定理：如果直角三角形中两条边分别为a，b，斜边为c，那么

。

2.

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长为a，b，c，满足

，那么这个三角形是

。

3.

会说出简单命题的逆命题。

二、典型例题精讲

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，

（1）如果a=7 ，c=25 ，则b=

；（2）如果b=15 ，c=25 ，则a=

；

（2）如果a=8 ，b:c=3:5 ，则c=

。

变式练习：

1.

直角三角形的两边分别是6cm,8cm，则另一边为

。

2.

直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm，则斜边上的高为

。

例2.

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，AD=6，求BC的长。

变式练习：如图，有一个三角形纸片，两直角边AC=7cm，BC=24cm，现将两直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，C与E重合，你能求出CD的长吗？

三、拓展提升题

1.

如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC。

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若∠DAC=45°，OA=2，求OC的长。

1

2.阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离

；

N在平行于y轴的直线上，N两点的距离为

；

（2）已知M、点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为﹣1，试求M、（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．

（4）在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度．

四、巩固练习

1．下列各组数中，是勾股数的是（

）

A．1、2、3

B．3、4、5

C．12、15、18

D．1、、3

2．如果3，a，5是勾股数，则a的值是（

）

A．4

B．

C．4或

D．4或34

2.

如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC中，边长为无理数的边数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3

4．在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（

）

A．2

B．3

C．4

D．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（

）

A．4

B．4π

C．8π

D．8

6．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（

）

A．2.2

B．

C．

D．

7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）

2

A．

B．

C．

D．

8．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（

）

A．a：b：c＝1：1：C．a：b：c＝2：2：3

B．a：b：c＝1：1：D．a：b：c＝：2：

9．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（

）

A．3

B．5

C．4.2

D．4

10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（

）

A．12.5尺

11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．

B．13.5尺

C．14.5尺

D．15.5尺

12.某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝26m，AD＝24m．求四边形ABCD空地的面积．

13.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；

，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

3 （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2

14．在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

15.某研究性学习小组进行了探究活动.如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m. （1）求这个梯子顶端A距地面有多高；

（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？

（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？

16.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别是边AC、BC上的动点．AB=∠ACB=90°，设AE=x，BF=y．

（1）AC的长是

；

（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；

（3）当DE⊥DF时，试探索x、y的数量关系．

4 ，