2.1.3 相等向量与共线向量名师教学视频（文字实录）

2.1平面向量的实际背景及基本概念

2.1.3 相等向量与共线向量

洱源县第一中学

李晓霞

问题提出

1.向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.

向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.

2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度.

零向量：模为0的向量.

单位向量：模为1个单位长度的向量.

3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作些研究.

探究（一）：相等向量与相反向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

答：模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

答：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a与b相等记作a=b.

uuuruuuruuuruuur思考3：用有向线段表示非零向量

AB

和

CD

，如果

AB

=

CD

，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

答：

uuuruuur

uuuruuur思考4：对于非零向量

和

CD

，如果

AB

=

CD

，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的AB位置关系如何？

1 / 3

思考5：非零向量

与BA称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？

AB长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.

uuuruuur思考6：如果非零向量

AB

与CD

是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

uuur

探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

方向相同或相反

思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：零向量0与向量a平行吗？

规定：零向量与任一向量平行.

思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作

OA

=a，OB

=b，

OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量

AB

与

CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量

a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考7：对于向量a、b、c，若a // b，

b // c，那么a // c吗？

思考8：对于向量a、b、c，若a =b，

b =c，那么a = c吗？

2 / 3

uuur

理论迁移

例1 判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

（

）

（2）不相等的两个向量一定不共线；

（

）

例2 如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与OA

、OB

相等的向量.

例3 如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知

AD=DB,DF=BE,uuuruuur

求证：DE

=

AF

. uuuruuuruuur

uuur

小结作业

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.

2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.

3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.

4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.

作业：

P77～78习题2.1A组：3，4.

B组：1，2.

3 / 3