2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示说课稿【一等奖】

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：平面向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：

一、复习

1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 由定理知，平面上任意向量a均可分解为不共线的两个向量λ1e1，λ2e2，

使a=λ1e1+λ2e2；基底给定时，分解形式唯一。

二、引入

问题：光滑斜面上的一个木块受到哪些力的作用？

重力、支持力。木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是平行于斜面的下滑力F1，一是垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于F1、F2两个力的合力的效果，即G=F1+F2，G=F1+F2叫做把重力G分解，其中F1、F2互相垂直。

三、新课讲解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做把向量正交分解。（写出课题）。正交分解是向量分解中常见的情形。

问题一：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，来表示图中的向量a，b，c，d

请学生动手完成并回答：

根据向量加法的几何意义，我们只要把a分解在i，j

1

的方向上，就可得到：

a2i3j，

同理可得

b2i3j, c2i3j, d2i3j

平面内的任意向量是否可以用i，j来表示呢？（提问学生）

可以，如果axiyj，

那么用i，j来表示a的这种形式是否唯一？依据是什么？（提问学生）

（唯一，平面向量基本定理）

我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)

由此得到向量的坐标表示的概念

在平面直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○叫做向量的坐标表示

即axiyj(x,y)

定义实际上给出了求向量坐标的方法：写出向量在正交基底i，j方向的分解形式，就得到了向量的坐标；反过来，知道了一个向量的坐标，就相当于知道了它在i，j方向的分解形式. 请写出向量i、j、0的坐标.（多媒体演示） 四、理解概念，加深认识

将向量a平移至平面内的其它位置，这一向量记为记为向量b，请说出向量

b

的坐标？ 将向量a平移至起点在坐标原点，其终点设为A，则向量a

的坐标？点A的坐标呢？

OA的坐标就是点A的坐标（起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标），反之，点A

2

的坐标就是OA的坐标， 平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标。由此可得

相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量.即两个向量相等的充要条件，利用坐标表示为

abxx 12,y1y2在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一对有序实数唯一表示。

五、自主探索，推导法则. 前面所学的向量的加法、减法、实数与向量的积这几种运算的结果是向量，因此，引入向量的坐标表示后，这些运算的结果也能用坐标表示，

问题二：已知a(x1,y1),b(x2,y2)，求ab，ab、λa的坐标

请学生以四人小组为单位，自己讨论推导，再将推导方法及所得结论在班上进行交流，最后，教师再来归纳整理，由此得出平面向量的坐标运算法则：

（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

ab(x1x2,y1y2)（其中a(x1,y1),b(x2,y2)）

（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若a(x,y)，则a(x,y)；

练习1：已知a(2,1),b(3,4)，求ab，ab，3a4b的坐标

问题三：已知A(x1,y1),B(x2,y2)．求AB的坐标

即已知其向量起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？ 方法一：（从特殊到一般，归纳猜想）通过一个具体的例子：求出向量a的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标.再将A,B的坐标推广到一般的(x1,y1),(x2,y2)，可得相应结论。教师指出：这只是我们从具体的例子中得到的猜想，要说明其正确性，必须进行严密的推证。指导学生进行证明，关键说明：已知A,B两点的坐标相当于知道了向量OA, OB的坐标，而ABOBOA，从而转化为坐标的运算.

即ABOBOA(x2x1,y2y1) 方法二：直接求解

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由此，得到结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3),B(3,5)，求BA的坐标

练习2. （1）已知A(2,（2）已知 AB(1,2),A(2,1)，求B点的坐标

五、课堂小结.（先请学生归纳本节课的收获，再由教师完善）

（一）知识点

1.正交分解的概念

2.平面向量的坐标的概念

3.几个重要结论：

(1)

起点在原点的向量的坐标等于其终点的坐标. (2)

两个向量相等的充要条件，利用坐标表示为

abxx 12,y1y2(3)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 即：已知A(x1,y1),B(x2,y2)则AB(x2x1,y2y1)

4.平面向量的坐标运算: 已知a(x1,y1),b(x2,y2)，则（1）ab(x1x2,y1y2)

（2）a(x,y)

（二）思想方法：数形结合思想，由特殊到一般,由一般到特殊的研究问题的方法

六、布置作业. （必做题）课本P100. 2、3. （选做题）我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系.平面上任意一点P的斜坐标定义为：若OP=x e1+ye2（其中e1、e2分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）.在平面斜坐标系xoy中，若xoy60，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为 . （使学生进一步加强对向量坐标表示的理解，把对数学知识的探究由课内延伸到课外）



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