2.1.3 相等向量与共线向量教学设计(第二课时)

课题：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

【教学目标】

1、知识与技能

能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 2、过程与方法

通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 3、情感、态度与价值观

启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.培养学生正确运用向量的意识和能力。

【教学重点】向量的减法运算及其几何意义. 【教学难点】对向量减法定义的理解. 【课 型】新授课

【教学工具】直尺

【教学过程】

一、导入新课

上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.

二、新知探究

提出问题1

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？

③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

师生活动

师:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似

地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质? 生:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a. ③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现. 师生共同得出; 任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则

如图,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b. 又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.

(2)三角形法则

如图,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.

提出问题2 ①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 生:①AB=b-a.②上黑板板演.

三、应用示例

例1、如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d. 图3

设计意图:让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;

变式训练

(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( ) A.AB=DC B.AD+AB=AC C.AB-AD=BD D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C 例2 、如图,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

设计意图:掌握用两个向量表示几何图形中的其他向量的方法,这是用向量证明几何问题的基础.

变式训练

中学第一课堂P40拓展发散1

课堂练习

课本P87练习1~3

四、课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.

五、作业布置

课本习题2.2 A组5、（4）~（7）6、7、8.

备选例题：

例3、

判断题: (1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相

同. (2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0. (3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点. (4)|a+b|≥|a-b|. 设计意图:根据向量的加、减法及其几何意义解决相关问题. 解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同; 若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥. (2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形. (4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定. 当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|; 当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|. 综上所述,只有(2)正确. 例4、

若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( ) A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13] D.(3,13) 设计意图：重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的运用. 解析:BC=AC-AB. (1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13; (3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C

备选练习：

1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( ) A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c D.a-b-c

解析:如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B

2.若AC=a+b,DB=a-b. ①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？

②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角

？

④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b. 由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|) ②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直) ③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等) ④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同

说明:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.

反思：