2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件配套优秀教案设计

2.3.2

一、教学目标：

平面向量的正交分解及坐标表示（教学设计）

1. 让学生了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2. 掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3. 正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 二、教学过程：

（一）导与思

知识点一

平面向量的正交分解

思考

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答

互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二

平面向量的坐标表示

思考

如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，向量a如何表示？

答

a＝23i＋2j. 1. 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2. 在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点三

平面向量的坐标运算

思考1

设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

答

a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j. 思考2

根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标又如何表示？

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

向量加法

数学公式

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 文字语言表述

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

向量减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量数乘

λa＝(λx1，λx2)

1

→已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）议与评

类型一

求向量的坐标

→→例1

如图，在直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝b. 四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；

→(2)求向量BA的坐标；

(3)求点B的坐标. 解

(1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4×AM＝OA·sin 45°＝4×2＝22，

22＝22. 2∴A(22，22)，故a＝(22，22). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，

∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，

333333→→－，3，∴AB＝OC＝－，3，即b＝－，3. ∴C22222233→→，－3. (2)BA＝－AB＝2233333→→→(3)OB＝OA＋AB＝(22，22)＋(－，3)＝22－，22＋. 2222反思与感悟

在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解.即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. →变式1

已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，

→(1)求向量OA的坐标；

→(2)若B(3，－1)，求BA的坐标. 解

(1)如图所示，利用三角函数的定义，可得：

yx31→→sin 60°＝，cos 60°＝，所以y＝|OA|·sin 60°＝43×＝6，x＝|OA|·cos 60°＝43×＝23，

22→→|OA||OA|→∴A(23，6)，∴OA＝(23，6). →→→(2)BA＝OA－OB＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).

2

类型二

平面向量的坐标运算

→→→例2

已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R). (1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？

(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围. →解

设P(x1，y1)，则AP＝(x1－2，y1－3). →→→→→因为AB＝(3,1)，AC＝(5,7)，所以AP＝AB＋λ

AC

＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). x1－2＝3＋5λ，x1＝5＋5λ，所以所以

y1－3＝1＋7λ.y1＝4＋7λ.

所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ). 1(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝. 21所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上. 25＋5λ＜0，(2)当点P在第三象限时，有成立. 4＋7λ＜0

解得λ＜－1. ∴实数λ的取值范围是(－∞，－1). 反思与感悟

向量坐标运算的方法：

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 变式2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解

设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，

10＝－2x＋3y，∴

－4＝3x＋y，

解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. 类型三

平面向量坐标运算的应用

例3

已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. →→→→解

当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，DC＝(3－x,4－y)，且AB＝DC，得D(2,2). →→→→当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)，由AB＝(1,2)，CD＝(x－3，y－4)，且AB＝CD，得D(4,6). →→→→当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)，由AC＝(5,3)，DB＝(－1－x,3－y)，且AC＝DB，得D(－6,0)，

故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0). 3

反思与感悟

利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求某些参数的值. 变式3

已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为(

) A.(－2,11)

答案

A →→→解析

因为点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，所以MP＝2MN，又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所→以MP＝(－4,12)，故点P的坐标为(－2,11). （三）练

1.若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(

) A.第一、二象限

答案

D 解析

a对应的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1). 1133x＋2＋＞0，－x2＋x－1＝－x－2－＜0. ∵x2＋x＋1＝2424∴a对应的坐标位于第四象限. →→→2.如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON内，且满足OP＝xOA＋yOB，则实数对(x，y)可以是(

) 11，－

A.32

11B.4，2

32－，

D.45

B.第二、三象限

C.第三象限

D.第四象限

42，3

C.，3

B.33D.(－2,12) 21－，－

C.33答案

C →→→解析

向量OP用基底OA，OB表示具有唯一性，结合图形知x＜0，y＜0. 3.已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，则以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式为____________. 14答案

a＝e1＋e2

77解析

设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，

－1＝λ1－2λ2，∴2＝2λ1＋3λ2，

λ＝7，解得4λ＝7.121

14∴a＝e1＋e2. 77→1→4.已知两点M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝MN，则点P的坐标是________. 23－1，－

答案

2→1→→→→解析

设O为坐标原点.

∵MP＝MN，OP－OM＝MP，

2331→→1→－1，－.

∴点P的坐标为－1，－. ∴OP＝OM＋MN＝(3,2)＋(－8，－7)＝22224

→→→5.如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________. 答案

(－3，－5) →→→解析

AD＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，

→→→∴BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5). （四）课堂小结

1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.

2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同. 3.向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误. （五）课后作业

1.给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

C 解析

由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误. 12.已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) 2A.(－2，－2)

答案

D 3.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(

) A.－2,1

答案

D λ1＋2λ2＝3，λ1＝－1，解析

由

解得

2λ1＋3λ2＝4，λ2＝2.

B.(2,2)

C.(－2,2)

D.(2，－2) B.1，－2

C.2，－1

D.－1,2

→→→4.在▱ABCD中，已知AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则CO的坐标是(

) 1－，5

A.2答案

B 5 11－，－5

C.，－5

B.221D.2，5

11→1→→11→－，－5，∴选B. 解析

∵CO＝－AC＝－(AB＋AD)＝－×(－2,3)－×(3,7)＝222225.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(

) A.(1，－1)

答案

D 解析

由题意知：4a＋3b－2a＋c＝0. ∴c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6). →6.已知A(2，－3)，AB＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为(

) 7A.B(5，－5)，M(0,0)

B.B(5，－5)，M2，－4

7C.B(1,1)，M(0,0)

D.B(1,1)，M2，－4

答案

B 7→→→，－4. 解析

OB＝OA＋AB＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，AB中点M2→→7.已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝________. 答案

11

2B.(－1,1)

C.(－4,6)

D.(4，－6) →→解析

∵AC＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

→→又2BD＝AC，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

x＝，2x－4＝－1，∴

解得22y－6＝2，

3y＝4，

11

∴x＋y＝. 22→→1→→→8.已知A(－1,2)，B(2,8).若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________. 33答案

(1,2) 2→2→1→1→解析

AC＝AB＝(3,6)＝(1,2)，DA＝－AB＝－(3,6)＝(－2，－4)，

3333→→→→DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，∴CD＝(1,2). →9.已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________. 答案

－1 →→解析

因为A(1,2)，B(3,2)，所以AB＝(2,0). 又因为a＝AB，

x＋3＝2，所以(x＋3，x－3x－4)＝(2,0). 所以2解得x＝－1. x－3x－4＝0，2

→→→→→10.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，CM＝3CA，CN＝2CB，则MN的坐标为________. 答案

(9，－18) →→→→→解析

CM＝3(1,8)＝(3,24)，CN＝2(6,3)＝(12,6)，MN＝CN－CM＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18). 6

11.若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.(用a，b表示) 13答案

a－b

22λ12.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值. μ

解

以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c1λ＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故2μ＝4.

→→→13.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t

AB. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. →→→解

(1)OP＝OA＋tAB＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，

2若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－. 31若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－. 31＋3t＜0，21若点P在第二象限，则∴－＜t＜－. 332＋3t＞0，

→→(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t). →→若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，

3－3t＝1，∴该方程组无解. 3－3t＝2，

故四边形OABP不能成为平行四边形.

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