阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质特级教师教学实录

第2节

平面向量基本定理及坐标表示

最新考纲

1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知

识

梳

理

1.平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有

一对实数λ1，λ2，使a＝

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(

)，a－b＝(

)，λa＝(

)，|a|＝

. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. →→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(

)，|AB|＝

. 4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔

[常用结论与微点提醒] 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2. 2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(

) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

) (3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(

) x1y1(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x＝y.(

) 222.(2018·三明月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于(

) A.(5，7)

B.(5，9)

C.(3，7)

D.(3，9) →→3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝(

) A.(－7，－4)

B.(7，4)

C.(－1，4)

D.(1，4) 4.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________. 5.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.

考点一

平面向量基本定理及其应用

【例1】

(1)(2014·全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中→→点，则EB＋FC＝(

) →A.AD

1→B.2AD

1→C.2BC

→D.BC

(2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延→→→长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于(

) 11A.4a＋2b

21C.3a＋3b

11B.2a＋4b

12D.3a＋3b

规律方法

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

→→→→【训练1】

(1)如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b→→表示AD，则AD＝________. (2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，

→→→E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 考点二

平面向量的坐标运算

【例2】

(1)向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为(

) A.(－3，4)

C.(3，－4)

B.(3，4) D.(－3，－4) (2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，λμ∈R)，则μ＝(

)

A.1

B.2

C.3

D.4 规律方法

1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用. 2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. →【训练2】

(1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为(

) A.(7，4)

C.(5，4)

B.(7，14) D.(5，14) (2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________. 考点三

平面向量共线的坐标表示

【例3】

(1)(2018·安徽江南十校联考)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2，5)，c＝(m，3)，且(a＋c)∥(a－b)，则m＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线

3上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________. 规律方法

1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. →【训练3】

(1)(2017·河南三市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是(

) 43，－A.5

534C.－5，5



34，－B.5

543D.－5，5

→→→(2)(2018·福州质检)设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，其中O12为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则a＋b的最小值为(

) A.4

B.6

C.8

D.9

基础巩固题组

(建议用时：25分钟) 一、选择题

1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是(

) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) 31D.e1＝(2，－3)，e2＝2，－4

2.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(

) A.(－23，－12)

C.(7，0)

B.(23，12) D.(－7，0) 3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

→→4.(2018·淮南质检)已知平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角→线AC与BD交于点O，则CO的坐标为(

) 1A.－2，5

1C.2，－5



1B.2，5

1D.－2，－5

→→→→5.(2017·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋→sAC，则r＋s等于(

) 2A.3

4B.3

C.－3

D.0 →→→6.在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，→→PQ＝(1，5)，则BC等于(

) A.(－2，7)

C.(2，－7)

B.(－6，21) D.(6，－21) 7.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(

) A.e1＋e2

C.2e1－e2

B.－2e1＋e2

D.2e1＋e2

→8.(2018·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC→→＝2AE，则向量EM＝(

) 1→1→A.2AC＋3AB

1→1→C.6AC＋2AB

二、填空题

→→→9.在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则向量BD的坐标为________.

1→1→B.2AC＋6AB

1→3→D.6AC＋2AB

π10.设0<θ<2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________. →→→11.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 1→→1→→→12.已知点A(－1，2)，B(2，8)，AC＝3AB，DA＝－3BA，则CD的坐标为________. 能力提升题组

(建议用时：15分钟) →13.(2017·成都诊断)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→→→→＝xOA＋yOB，且BP＝2 PA，则(

) 21A.x＝3，y＝3

13C.x＝4，y＝4

12B.x＝3，y＝3

31D.x＝4，y＝4

→→→→→→14.已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为m→→→30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则n的值为(

) A.2

5B.

2C.3

D.4 15.(2018·河南名校联盟质检)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C在第二象限，且

→→→∠AOC＝150°，OC＝－4OA＋λOB，则λ＝________. 16.(2018·长沙一模)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝→→→1，若AP＝xAB＋yAD，则3x＋2y的取值范围是________.