阅读与思考 三角学与天文学教学设计(教案)

1.2.3天文学与三角学

一

教材分析

普通高中课程标准实验教科书人教版A必修（4）

新课程标准要求：理解同角三角函数基本关系式。

同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

22

教学重点

：

公式sincos1与sintan的推导及已知某角的正弦、余弦、cos正切中的一个,求其余两个三角函数. 教学难点：关系式在解题中的灵活选取，及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论。

二 学情分析 我的学生从认知角度上看，已经比较熟悉的掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数行结合，猜想证明有所了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

三 教学目标

1 知识与技能

：

理解和掌握同角三角函数的基本关系式,并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题,培养学生的运算能力,逻辑推理能力。

2

过程与方法

：让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,培养学生的动手实践、探索、研究能力.

3. 情感、态度与价值观：

通过同角三角函数基本关系的学习,揭示事物之间的普遍联系规律,培养学生的辩证唯物主义世界观.

四

教学方法

教学策略 启发式和探究式相结合的教学方法

1、 创设情景、引入问题

2、 启发诱导、公式推导

3、 灵活运用公式

教学手段

计算机多媒体教学

五

教学过程

（一）、问题情境

教师出示问题:上一节内容,我们学习了任意角α的三个三角函数及正弦线、余弦线和正切线,现在让我们回顾一下他们的定义与联系。

（二）、建立模型

1. 引导学生写出任意角α的三个三角函数,并探索它们之间的关系

在角α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离是r(r>0),则角α的三个三角函数值是

2. 推导同角三角函数关系式

引导学生通过观察、分析和讨论,消元(消去x,y,r),从而获取下述基本关系.

(1)平方关系:

sin2cos21

(2)商数关系:

sintan

cos

说明:除以上两个关系式外,也许部分学生还会得出如下关系式: sin21cos2.cos21sin2.sincostan

教师点拨:这些关系式都很对,但最基本的还是(1)和(2),故为了减少大家的记忆负担,只须记住(1)和(2)即可.以上关系式均为同角三角函数的基本关系式.

教师启发:(1)对"同角"二字,大家是怎样理解的?

(2)这两个基本关系式中的角α有没有范围限制?

（三）、解释应用

[例

题] 4,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值. 5

2. 已知tan3,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值.

1. 已知sin

说明:这两个题是关系式的基本应用,应让学生独立完成.可选两名同学到黑板前板书,以便规范解题步骤.

变式1 在例2中若去掉"且α是第二象限角",该题的解答过程又将如何?

师生一起完成该题的解答过程. ①

sin2cos21

解:由题意和基本关系式,列方程组得 sin

②

3cos

由②,得sin3cos

2

代入①整理,得4cos1,解得cos1. 2

∵tan3,∴角α是第二或第四象限角.

当α是第二象限角时,

cos

代入②式,得sin1

, 23

; 21

, 2

当α是第四象限角时cos

代入②式,得sin3. 2

小结:由平方关系求值时,要涉及开方运算,自然存在符号的选取问题.由于本题没有具体指明α是第几象限角,因此,应针对α可能所处的象限,分类讨论.

变式2 把例2变为: sincos

的值. 2sin3cos22

解法1:由tanα=2 及基本关系式sincos1可解得

已知tan2

,求

观察所求式子的特点,看能不能不通过求sinα,cosα的值而直接得出该分式的值.

老师引导

学生得到如下解法:分子分母同除以cos，原式=

由此,引出变式3.

已知:

tan2

,求(sincos)2的值. tan11

2tan37

有了上一题的经验,学生会得到如下解法:原式=sin22sincoscos2

sin22sincoscos22=，分子分母同除以cos得22sincostan22tan14411

2tan1 4+1 5

教师归纳、启发:这个方法成功地避免了开方运算,因而也就避开了不必要的讨论.

教师引导学生反思、总结:(1)由于开方运算一般存在符号选取问题,因此,在求值过程中,若能避免开方的应尽量避免.

(2)当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n(n∈N且n≥1)次幂的齐次式时,采用上述方法可优化解题过程.

（四）、拓展延伸

教师出示问题,启发学生一题多解,并激发学生的探索热情.

已知sincos5

,180°<α<270°,求tanα的值.

5（五）布置作业 对于作业的布置应该针对学生之间的差异，进行分层训练，这样做既可以使学生掌握基础知识，又可以使学有余力的学生有所提高，从而达到“拔尖”和“减负”的目的。因此我布置的课堂作业是第21页的第10，11，12题及附加题B组第3题。

（六）板书设计 在板书设计方面，我比较注重直观、系统的板书设计，所以在我的板书中，能详细的体现出教材中的知识点，以便于学生能够理解掌握。

六 教学效果预测

对于基本的公式解题（已知任意角的某一三角函数值求这一角的其他的三角函数值），学生在这方面应该问题不大，在解已知某一角的三角函数值来求齐次式的值时，会有一部分学生在化简时会遇到一些问题，在这个地方应多加注意。

七

点

评

这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想,充分发挥了学生的主体作用.教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色.教师和学生是本课的共同参与者,共同努力完成了这一节课的教学活动.从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦.案例中的教学活动体现了研究性学习和探索性学习的方法.