2.5.2 向量在物理中的应用举例教学教案设计

向量在物理中的应用举例

高中数学

人教A版2003课标版

一、教学目标

（1）知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. （2）过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”

和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. （3）情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

二、学情分析

利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义；

将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动的实现。

三、重点难点

本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量积的运算律，对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用是难点。

四、教学过程 活动1：【导入】教学过程

教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足，正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然，幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率”等等，当向量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“向量是数吗？”“能算吗？

”

调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性

1、复习提问（承前启后回顾已学习的向量运算）

由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按照怎样的顺序研究这种运算的？

期望学生回答：（物理模型→概念→性质→运算律→应用）还可能定义什么运算？

期望学生回答：（向量相乘）复习向量有关运算

2、引入新课（以物理背景引入）

实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

（1）力F所做的功W= 。

（2）

请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是(

)量，

F（力）是(

)量，

S（位移）是(

)量，

α是(

)。

我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的；

问题1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义

回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至同起点。回答问题1后定义夹角：

P107

3、定义给出：数量积的定义

已知两个非零向量

与

，它们的夹角为

，我们把数量

︱

︱·︱

︱cos 叫做

与

的数量积（或内积），记作：

·

，即：

·= ︱

︱·︱

︱cos 在此可以强调：“请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位移的数量积”

学生应用公式完成

例1：已知：

|a|=5，|b|=4，

〈a，b〉=1200，求a×b 注意：

①

=0 ·

=0②“·”并非实数运算中的乘号，既不能写成“

”也不能省略

在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题

问题2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角

的范围

0°≤

<90°=90°

0°< ≤180°的符号

不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，

“补充”通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。

通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。对角的范围做好分类讨论的准备

4、

数量积的性质：探究数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1°e×a = a×e =|a|cos〈a，e〉

2°a^b a×b = 0 且a×b = 0 a^b

3°

a×a = |a|2，

即4°cos〈a，b〉=

5°|a×b| ≤

|a||b|

学生分组探究，两个向量的数量积的性质；教师指导探究活动，体现特殊化的思想；数形结合思想，基本运算能力培养

问题3：简要叙述性质的特征和功能

（1）单位向量的特征？

（2）为什么a×b = 0可以用于判断a、b垂直？

（3）a×a = |a|2，即

的主要功能是什么？

（4）如何求夹角？

练习：P109/练习A：1（3）2（1）

培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题

5、数量积的几何意义

向量在轴上的正射影定义：

已知向量

和轴l，作

= ，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量

叫做向量

在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标称作向量

在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量

由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽，有没有几何特征呢？

由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数，可以是正数、负数、零，其几何含义

见P108/图2-50 = 在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量

的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数余弦定义可知：al= cosθ

6、应用（体会公式，应用练习）

P108/例1：了解：向量

在轴l上的正射影（向量）的坐标

在轴l上的数量

向量数量积的运算律

交换律a×b = b×

a

分配律（a+b）×c =a×c +b×c

λ（a×b）=（λa）×b= a（λ×b）

从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律，

问题4：向量问题解决思路

问题5：单位向量的功能

创设情境，引发思考

7、应用举例

例3、求证：

①（

+ ）2= 2+ . + 2 ②（

+ ）•（

- ）= 2_ 2 例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直

（用向量解决几何问题）

教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书

例3、求证：①（

+ ）2= 2+ . + 2 学生证明②（提示：结论可直接应用）

例5（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？

步骤：用向量表示几何关系

进行向量运算

还原为几何结论

教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依据

8、随堂练习（小测验）:

(1)P109/练习A：1（1）

(2)P109/练习B：1（2）

（3）P111/练习A：1 9、归纳小结（要点）：

（1）体会数学知识多来源于实际需要

(2) 区分几种运算，数量积结果是实数，联系向量与实数

(3)运算律不同于实数运算，不能套用，课后思考：结合律适用吗？

教师引导学生回顾小结：向量数量积的概念、几何意义及其运算律，

10、布置作业（学生课后独立完成）：

P109/练习A：1（4）2 P109/练习B：1，2 P111/练习A：2，3 P111/练习B：1，2

11、课后分组探究（自选）：

课后思考1、证明两个向量的数量积的性质？

课后思考2、分组探究运算律并进行证明？

课后思考3、结合律适用吗？