2.1.3 相等向量与共线向量教学设计一等奖

一．三维目标

1．知识与技能

相等向量与共线向量

(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．

(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．

(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．

2．过程与方法

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．

3．情感、态度与价值观

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．

二．重点、难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．

难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．

三．教学建议

相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．

任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．

共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．

教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．

四．教学过程

（一）复习回顾

1．向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

→→→(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小也就是向量

AB的长度(或称模)，记作|AB|.

→→向量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD. （二）知识讲解

向量的有关概念

零向量

单位向量

平行向量

(共线向量)

长度等于0的向量，记作0 长度等于1的向量

方向相同或相反的非零向量

向量a，b平行，记作a∥b

规定：零向量与任一向量平行

长度相等且方向相同的向量

向量a，b相等，记作a＝b

相等向量

（三）例题讲解

1.下列说法正确的有________．

(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(2)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

→→(3)向量AB与BA是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

【思路探究】

明确向量的有关概念，根据定义进行判定．

2.判断下列说法是否正确，并简要说明理由：

(1)零向量只有大小没有方向；

(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；

(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c. 3.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b. →→

(1)与a的模相等的向量有多少个？

(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

(3)与a共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a，b相等的向量．

【思路探究】

借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断．

（四）课堂练习

1.若将本例中的正六边形ABCDEF改为如图所示的▱ABCD，则

(1)与OA的模相等的向量有多少个？

(2)与OA的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与AB共线的向量．

2.

下列说法正确的个数是(

)

→→→①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．

A．1

B．2

C．3

D．4 五．课堂总结

1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在同一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小. 六．教学反思

1．寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线；寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．

2．用向量知识解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型，然后解决数学问题．