复习参考题教学设计第一课时

1．公式的常见变形

(1)1＋cos α＝2cos2α2；

1－cos α＝2sin2α2；

(2)1＋sin α＝(sinαα2＋cos2)2；

1－sin α＝(sinα2－cosα2)2. (3)tan α1－2＝sin αcos α1＋cos α＝sin α. 2．辅助角公式

asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，

其中sin φ＝baa2＋b2，cos φ＝a2＋b2. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(

×

) (2)设α∈(π，2π)，则

1－cosπ＋αα2＝sin2.(

×

) (3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．(

√

) (4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sinθ2的值为155.(

×

) (5)公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(

)

×

1α1．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos等于(

) 32A.C.6

33

3

B．－D．－6

33

3答案

B απ解析

∵∈(，π)，

22α∴cos＝－21＋cos α＝－226＝－. 332sin235°－12.的值为(

) cos 10°－3sin 10°A．1

B．－1 11C.

D．－

22答案

D 2sin235°－1解析

原式＝

132cos 10°－sin 10°22－cos 70°1＝＝－. 2sin 20°23．(教材改编)sin 15°－3cos 15°＝________. 答案

－2 解析

sin 15°－3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－2. x2sin2

－12π4．若f(x)＝2tan x－，则f12的值为______．

xxsin cos 22答案

8 x1－2sin2

2解析

∵f(x)＝2tan x＋

1sin x22cos x24＝2tan x＋＝＝，

sin xsin xcos xsin 2x

π4∴f＝＝8. 12πsin 65．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. π答案

3解析

由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，

tan α＋tan β可得＝3，即tan(α＋β)＝3. 1－tan αtan βπ又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. 3

题型一

三角函数式的化简与求值

12cos4x－2cos2x＋2例1

(1)化简：＝________. π2π2tan4－xsin4＋xtan 12°－3(2)计算：＝________. 4cos212°－2sin 12°1答案

(1)cos 2x

(2)－4 214cos4x－4cos2x＋12解析

(1)原式＝

πsin4－xπ2×·cos24－xπcos4－x2cos2x－12＝

ππ4sin4－xcos4－xcos22x＝

π2sin2－2xcos22x1＝＝cos 2x. 2cos 2x2sin 12°－3cos 12°(2)原式＝

2sin 12°cos 12°cos 24°2sin12°－60°＝＝－4. 1sin 48°2

思维升华

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

23ππ2π－等于(

)

(1)cos ·cos ·cos9991A．－

81C.

16

1B．－

161D.

8π100，π，则sin2θ－π＝________. θ＋＝(2)已知cos，θ∈341024－33答案

(1)A

(2)

10π24解析

(1)原式＝cos ·cos π·cos(－3π＋π)

999π24π－cos ·cos π·cos π·sin 9999＝

πsin91224－sin π·cos π·cos π2999＝

πsin 918－sin π89＝

πsin 91＝－. 82θ＋π1＋cos21π2θ＋π＝－sin 2θ＝－4，即sin 2θ＝4. θ＋＝(2)由题意可得，cos2＝，cos2421055π100，π，

θ＋＝因为cos>0，θ∈4102ππ0，，

所以0<θ<，2θ∈243根据同角三角函数基本关系式可得cos

2θ＝，由两角差的正弦公式可得

5πππ4－332θ－＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝sin. 33310题型二

三角函数的求角问题

例2

(1)已知锐角α，β满足sin α＝5310，cos β＝，则α＋β等于(

) 510

3πA.

4πC.

4

π3πB.或

44πD．2kπ＋(k∈Z) 4ππ－，，则α(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈22＋β等于(

) πA.

8

3πB．－

4π3πD.或－

44π3πC.或－

88答案

(1)C

(2)B 解析

(1)由sin α＝5310，cos β＝且α，β为锐角，

5102510可知cos α＝，sin β＝，

510故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

253105102＝×－×＝，

5105102π又0<α＋β<π，故α＋β＝. 4tan α＋tan β＝－3a，(2)依题意有

tan α·tan β＝3a＋1，

tan α＋tan β－3a∴tan(α＋β)＝＝＝1. 1－tan α·tan β1－3a＋1tan α＋tan β＜0，又

tan α·tan β＞0，

∴tan α＜0且tan β＜0. ππ∴－＜α＜0且－＜β＜0，

22即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，

3π得α＋β＝－. 4思维升华

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

①已知正切函数值，则选正切函数．

π0，，则选正弦、余弦皆②已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是2ππ－，，则选正弦较好．

可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为22

(1)已知sin α＝5πA.

12πB.

3

510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(

) 510

πD.

6πC.

4(2)在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，则C等于(

) πA.

3

2πB.

3

πC.

6

πD.

4答案

(1)C

(2)A ππ解析

(1)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<. 22又sin(α－β)＝－又sin α＝10310，∴cos(α－β)＝. 1010525，∴cos α＝，

55∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝531025102×－×(－)＝. 5105102π∴β＝. 4(2)由已知可得tan A＋tan B＝3(tan A·tan B－1)，

tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝＝－3，

1－tan Atan B2π又0

三角恒等变换的应用

ππ－，. 例3

已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈22π(1)当a＝2，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

4π(2)若f2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

ππx＋＋2cosx＋

解

(1)f(x)＝sin42＝＝2(sin x＋cos x)－2sin x

222cos x－sin x

22π＝sin4－x，

3πππ－，，

因为x∈[0，π]，从而－x∈444故f(x)在[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 2πf＝0，cos θ1－2asin θ＝0，2(2)由

得

22asinθ－sin θ－a＝1，fπ＝1.

ππ－，知cos θ≠0，

由θ∈22a＝－1，解得

πθ＝－6.思维升华

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．

π(2)函数f(x)＝sin(2x－)－22sin2x的最小正周期是________．

4答案

(1)1

(2)π

解析

(1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x

＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，

－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1. (2)f(x)＝＝22sin 2x－cos 2x－2(1－cos 2x) 22

22πsin 2x＋cos 2x－2＝sin(2x＋)－2，

2242π∴T＝＝π.

2

8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

π－xsin x－3cos2x. 典例

(14分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin2(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

π2π(2)讨论f(x)在6，3上的单调性．

思维点拨

(1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数．

(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y

＝sin x的图象解决．

规范解答

π－xsin x－3cos2x

解

(1)f(x)＝sin2＝cos xsin x－π313332x－－，[5分]

(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin3222222－3因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.[7分]

2π2ππ，时，0≤2x－≤π，[8分]

(2)当x∈633πππ5π从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，[10分]

32612ππ5π2π当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．[12分]

23123π5π5π2π，上单调递增；在，上单调递减．[14分]

综上可知，f(x)在612123温馨提醒

(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．

(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sin t的图象讨论函数的单调性、最值等．

[方法与技巧]

1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．

2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．

3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．

[失误与防范]

1．利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．

2．计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

A组

专项基础训练

(时间：35分钟) π2α＋等于(

) 1．已知sin 2α＝，则cos243

A.16

B.13

C.12

D.23

答案

A 1＋cos2解析

因为cos2α＋π＝α＋π442

1＋cos2α＋π＝21－sin 2α2＝2，

2所以cos2α＋π4＝1－sin 2α1－312＝2＝6，故选A. 2．若α∈π2，π，且3cos 2α＝sinπ4－α，则sin 2α的值为(

) A.118

B．－118

C.1718

D．－1718

答案

D 解析

cos 2α＝sinπ2－2α

＝sin2π4－α

＝2sinπ4－αcosπ4－α

代入原式，得

6sinπ4－αcosπ4－απ＝sin4－α，

∵α∈π2，π，∴cosπ14－α＝6，

∴sin 2α＝cosπ2－2α

＝2cos2π4－α－1＝－1718. 3．若sin 2α＝510π5，sin(β－α)＝10，且α∈4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是(

A.7π4

B.9π4

C.5π4或7π4

D.5π9π4或4

答案

A 解析

∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π. )

∵sin 2α＝π5，∴2α∈2，π，

5ππ25，，cos 2α＝－∴α∈. 4253ππ5ππ，，∴β－α∈，，

∵β∈224310∴cos(β－α)＝－，

10∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]

＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) 510225310＝－×－－×＝. 10251055π又∵α＋β∈4，2π，

7π∴α＋β＝. 4α＋π，1，

4．已知向量a＝sin64πα＋等于(

) b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin3A．－C.3

4

1B．－

41D.

43

4答案

B 解析

∵a⊥b，

πα＋＋4cos α－3 ∴a·b＝4sin6＝23sin α＋6cos α－3 πα＋－3＝0，

＝43sin3π1α＋＝. ∴sin344ππ1α＋＝－sinα＋＝－. ∴sin334ππ|θ|＜的图象关于点，0对称，则f(x)的单调递增5．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)26区间为(

) π5π＋kπ，＋kπ，k∈Z

A.63

ππ－＋kπ，＋kπ，k∈Z

B.367ππ－＋kπ，－＋kπ，k∈Z

C.1212π5π－＋kπ，＋kπ，k∈Z

D.1212答案

C 解析

∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ) π2x＋θ＋，

＝2sin3ππ由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，

632∴θ＝kπ－π(k∈Z)．

3ππ∵|θ|＜，∴θ＝. 2322x＋π. ∴f(x)＝2sin3π2π由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，

2327π得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．故选C. 1212π6．已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos2θ的值为________．

44答案

－

5π解析

∵tan(＋θ)＝3，

41＋tan θ1∴＝3，解得tan θ＝. 21－tan θ∵sin 2θ－2cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 222sin θcos θcosθ－sinθ＝2－－1 sinθ＋cos2θsin2θ＋cos2θ1－tan2θ2tan θ＝－－1 1＋tan2θ1＋tan2θ434＝－－1＝－. 555110πππ7．若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为________．

tan α3424答案

－2

10

110sin αcos α10解析

由tan α＋＝得＋＝，

tan α3cos αsin α3∴1103＝，∴sin 2α＝. sin αcos α35πππ∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，

4224∴cos 2α＝－. 5πππ∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin

444＝2342×(－)＝－. 25510πsin 2α0，，则28．若α∈的最大值为________．

2sinα＋4cos2α1答案

2解析

sin 2α2sin αcos α2tan α＝＝，

sin2α＋4cos2αsin2α＋4cos2αtan2α＋4π0，，所以tan α>0，

因为α∈221所以原式＝≤，

42tan α＋tan α1故答案为. 2π5π32x＋，x∈R，且f＝9．已知函数f(x)＝Asin3122. (1)求A的值；

ππ0，，求f－θ

的值．

(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈265π325π＋π＝32，

解

(1)由f＝，即Asin1221232可得Asin 3π2A32＝＝，解得A＝3. 422ππθ＋－3sin－θ＋

(2)由f(θ)－f(－θ)＝3sin33＝3sin θ＝3，

解得sin θ＝3. 31－632＝，

33π0，，所以cos θ＝因为θ∈2

ππ6－θ＝3sin－θ＝3cos θ＝3×＝6. 所以f623ππωxωx＋＋sinωx－－2cos2

，x∈R(其中ω＞0)．

10．已知函数f(x)＝sin662(1)求函数f(x)的值域；

π(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区2间．

解

(1)f(x)＝＝23131sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1) 222231sin ωx－cos ωx－1 22πωx－－1. ＝2sin6πωx－≤1，

由－1≤sin6πωx－－1≤1，

得－3≤2sin6所以函数f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，

2πf(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2. ωπ2x－－1，

所以f(x)＝2sin6πππ再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

262ππ解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

63所以函数f(x)的单调递增区间为

kπ－π，kπ＋π(k∈Z)．

63B组

专项能力提升

(时间：20分钟) 1＋sin βππ11．设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(

) 22cos βπA．3α－β＝

2πC．3α＋β＝

2答案

B

πB．2α－β＝

2πD．2α＋β＝

2

1＋sin βsin α1＋sin β解析

由tan α＝得＝，

cos βcos αcos β即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

π∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．

2ππ∵α∈(0，)，β∈(0，)，

22ππππ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，

2222ππ由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，

22π∴2α－β＝. 2a

12．定义运算c

πA.

12答案

D 解析

依题意有

33sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，

14ππ又0<β<α<，∴0<α－β<，

2213故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝，

14143而cos α＝，∴sin α＝，

77于是sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 43131333＝×－×＝，

7147142π故β＝，故选D. 313．若f(x)＝3sin x－4cos x的一条对称轴方程是x＝a，则a的取值范围可以是(

) π0，

A.4π3πC.2，4

答案

D 4π其中tan φ＝且0＜φ＜，则sin(a－φ)＝±解析

因为f(x)＝3sin x－4cos x＝5sin(x－φ)1，

32

ππB.4，2

3πD.4，π

1sin α

sin β33π若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(

) ＝ad－bc，7cos α

cos β142d

πC.

4

πD.

3bπB.

6

ππ4πππ所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tan φ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，2232423π3π所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈4，π，故选D. 4π2sinx＋10，，14．设x∈则函数y＝的最小值为__________________________________．

2sin 2x答案

3 22sin2x＋12－cos 2x解析

方法一

因为y＝＝，

sin 2xsin 2x2－cos 2xπ0，，

所以令k＝.又x∈2sin 2x所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点

P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．

又kmin＝tan 60°＝3，

2sin2x＋1所以函数y＝的最小值为3. sin 2x2sin2x＋13sin2x＋cos2x方法二

y＝＝

sin 2x2sin xcos x3tan2x＋131＝＝tan x＋. 2tan x22tan xπ∵x∈(0，)，∴tan x>0. 231∴tan x＋≥222tan x(当tan x＝31tan x·＝3. 22tan x3π，即x＝时取等号) 36即函数的最小值为3. π15．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋23cos ωxsin ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是f(x)图象的一条对3称轴．

(1)试求ω的值；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左π6π2π2α＋＝，α∈0，，求sin α的值．

平移个单位长度得到的，若g3523解

f(x)＝2cos2ωx－1＋23cos ωxsin ωx

＝cos 2ωx＋3sin 2ωx

π2ωx＋. ＝2sin6ππ2ωx＋图象的一条对称轴，

(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin63

2ππω＋＝±∴sin1. 632πππ∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，

36231∴ω＝k＋(k∈Z)．

2211又0＜ω＜1，∴－＜k＜. 331又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝. 2πx＋，

(2)由(1)知f(x)＝2sin6由题意可得

2ππ1x＋＋，

g(x)＝2sin2361即g(x)＝2cos x. 2ππ62α＋＝2cosα＋＝，

∵g365π3α＋＝. ∴cos65π0，，

又α∈2ππ2π∴＜α＋＜，

663π4α＋＝. ∴sin65ππα＋－

∴sin α＝sin66ππππα＋cos －cosα＋sin

＝sin6666433143－3＝×－×＝. 525210