探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第二课时教学设计

1.2.1解斜三角形应用举例-----测量距离问题（1）

【学习目标】

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题；

2.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、待求量，确定解三角形的方法；3.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力，比如能设计一些简单方案解决实际问题。

【知识铺垫】

1．实际问题中的常用角: (1)仰角和俯角：与目标线在同一竖直平面内的水平线和目标视线的夹角。

视线在水平线上方的角叫仰角，

视线在水平线下方的角叫俯角(如图)．

(2)方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角。如南偏东30°，北偏西45°等．

2.

解三角形的基本方法: (1) 直接法（把所求的边或角化归在三角形中，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形）

(2) 方程法（根据题目选择适当的边或角为未知量构建方程）

【新课导学】

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧（能看到B但不可到达），在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 分析：画出图形；

写出已知什么，求什么；

利用正余弦定理有序解三角形；

检验得出实际问题的解. 解：

1

小结：（1）和以前解应用题一样，解决实际问题的一般步骤为: 分析、建模、求解、检验.和以前不同的是

这里建立的是一个解斜三角形的数学模型. （2）例1隐含着关于测量“从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离”的问题，用到的有测角和测长度的仪器，你能用语言简要表达该问题的测量思路和测量方法吗？请表达.思路：

方法：

（3）测量中经常提到基线，比如本题中的线段AC，那么基线的概念是：

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（都可看到但不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方案. 包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公B 式写出计算A，B间的距离的步骤。

A

. 分析：例1可解决“从一个可到达的点到一个不可到达的点

之间的距离”的问题，例2研究的是两个 的点之间

的距离测量问题. 能在例1的基础上解决吗？

方案：①需要测量的数据有：

②第一步：计算

. 在三角形 中，由 定理得 ；

第二步：计算

. ；

第三步：计算 . .

还有别的方案吗?

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【课堂练习】

练习1.一艘船以32n mile / h的速度向正北航行。在A处看

o灯塔S在船的北偏东20的方向，30min后航行到B处，在B o处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile

以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

分析：画出图形；

写出已知什么，求什么；

利用正余弦定理有序解三角形；

检验得出实际问题的解.

练习2.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处.已知CD=6000米，ACD45,ADC75,目标出现在地面B处时，测得BCD30,BDC15，如图.求该炮兵阵地到目标地的距离。（结果保留根号）

分析：画图（略）；

在图中标出已知量，待求量；

利用正余弦定理有序解三角形；

检验得出实际问题的解.

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练习3（高考题）.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

【小结提升】

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，画出示意图

（2）建模：分清已知与未知，把已知量与求解量集中在有关的三角形中（实际问题中经常抽象出一个或几个三角形）

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形（直接法或方程法）

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

2. 设计方案的思考：

把所求的距离化归在三角形中，然后再设计相关元素的解决方案，并条理表述.

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