2.3.1 变量之间的相关关系精品学案

高一必修3导学案

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§2.3变量间的相关关系

学习目标 1．了解相关关系的概念．

2．会利用散点图直观地判断两个变量之间是否有较强的线性关系．

3．了解最小二乘法的思想，并能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程．

学习过程 一、课前准备

（预习教材P84~ P91，找出疑惑之处）

二、新课导学

1．相关关系的概念．

相关关系是指变量之间存在某种程度上的________ 关系，即当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的________．

2．两个变量的线性相关．

(1)散点图：

将样本中

n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．

(2)正相关、负相关的概念：

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由小变大，这种相关称为__________；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值是由大变小，这种相关称为__________．

(3)回归直线方程：

定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有______________，这条直线叫做____________．

对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回归方^^^程为y＝bx＋a，其中

^b＝xxyyxyxyiiiii1nnxxii1n2＝xi1i1n2inx2，

^^a＝y－bx. 3．最小二乘法．

通过求ybxaiii1n2的最小值而得到回归直线的方法，叫做最小二乘法．

^探究：回归直线方程的预测值y与实际值y为什么会产生误差？

提示：(1)回归直线方程中的截距与斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差．

^^^(2)实际上，y＝bx＋a＋e＝y＋e，这里的e^是随机变量，而y与y的接近程度由随机变量e的标准差决定．

三、典型例题

题型1 相关关系的概念

例 1：下面两个变量之间的关系是相关关系的是（

）

A．正四面体的棱长与体积

B．电压一定时，电流与电阻

C．两地距离一定，车辆运行的平均速度与运行的时间

D．数学成绩与物理成绩

【变式与拓展】

1．下列关系不是相关关系的是（

）

A．日照时间与水稻亩产量

B．圆的半径与圆的内接正三角形的面积

C．父母的身高与子女的身高

D．降雪量与交通事故的发生率

1

棠下中学

高一数学◆必修3◆导学案

编写：欧海雄

校审：高一数学备课组

题型2求线性回归方程及利用回归直线对总体进行估计

例 2：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量

x(单位：吨)与相应的生产能耗

y(单位：吨)标准煤的几组对照数据：

x/吨

y/吨

3

2.5

4

3

5

4

6

4.5

小结：求回归直线方程的步骤：①列表；②计算x，y，nnxy,xiii1i12i，的值；③代^^入公式计算b，a的值；④写出回归直线方程．

【变式与拓展】

2．(2011 年江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取

5 对父子的身高数据如下：

父亲身高

x/cm

儿子身高

y/cm

174

176

176

176

178

175

175

176

177

177

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出

y ^^^关于

x 的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前生产

100 吨甲产品的生产能耗为

90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

2

则

y 对

x 的线性回归方程为（

）

A．y＝x－1

B．y＝x＋1

1C．y＝88＋x

D．y＝176 2四、总结提高

1．两变量之间的关系分两类．(1)确定性的函数关系．例如以前学习过的一次函数、二次函数等．

(2)带有随机性的变量间的相关关系．例如：“身高者，体也重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系．两者的相同点是均指两变量间的关系．不同点是函数关系是一种确定关系，相关关系是一种不确定关系，具有随机性；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

2．根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确地判断两个变量是否具有相关关系．

如果散点图中变量的对应点分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系．

五、课后作业

1．下列关系中，是函数关系的是(

) A．球的半径和体积的关系

高一必修3导学案

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B．农作物收获和施肥量的关系

坐标平面上所有直线与这些点偏差中最小的．

C．商品成本和利润的关系

5．(2011年山东)某产品的广告费用x与销D．产品产量与单位产品成本的关系

售额y的统计数据如下表：

2．由变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，4

2

3

5 广告费用x/万元

10)，得散点图2－3－2(1)；由变量u，v的观49

26

39

54 销售额y/万元

测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2－3^^^^－2(2)．由这两个散点图可以判断(

) 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(

) A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

图2－3－2 A．变量x

与y

正相关，u

与v

正相关

B．变量x

与y

正相关，u

与v

负相关

C．变量x

与y

负相关，u

与v

正相关

D．变量x

与y

负相关，u

与v

负相关

3．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度下观察它在水中的溶解度，得观测结果如下表：

0

10

20

50

70 温度x 溶解度y 66.7

76.0

85.0

112.3

128.0 则由此得到的回归直线的斜率是____________．

4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，^^^(xn，yn)得到的回归直线方程为y＝bx＋a，则下面说法不正确的是(

) ^^^A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y) ^^^B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点

^^^C．直线y＝bx＋a的斜率为6．(2011 年安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份/年

2002

2004

2006

2008

2010

需求量/万吨

236

246

257

276

286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回^^^归直线方程y＝bx＋a；

（2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地

2012 年的粮食需求量。

xiyixyxi2nxi1i1n2n

^^^D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差[y－(bx－a)]是该ii2ni1

3