复习参考题名师教学设计1

样本的数字特征的求解以及实际应用问题

邓福斌

第12周星期三第5节

2018.05.16 一、考情分析：用样本的数字特征估计总体一直都是概率与统计的一个大点，一般都是以最近热门事件为背景，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，由频率分布直方图或者茎叶图等统计图表展示出来，往往文字比较多，阅读量大，能力上是要求学生熟练掌握题目数据的提取与整合，数字特征的计算以及解题模式，运算结果的实际应用，而且常与古典概型、分层抽样等问题综合应用。在18年广州二模，17年汕头高三统考，16年全国卷一卷、二卷及一些各地的模拟题都有涉及。此类问题对于文科生来说难度适中，运算量中等，公式具有一定的规律性，但是试题一般具有一定的灵活性和机动性。所以，一旦高考出这样的题目，对于我们学校的学生就应该是福音，要在这道题上拿到高分，不要出现无畏的失误与理解上的偏差。

二、学情分析：通过高三一轮复***时的训练中，学生对于这种内容把握还是不够好，主要原因有：①统计数表看不懂，找不出关键数据；②阅读能力差，总是不清楚题目所要表达的意思；③数字特征公式记不牢，计算能力差；④答题不规范，欠缺必要的文字说明与关键步骤。

三、教学目标：1.知识与技能：(1)掌握样本的数字特征的公式与解法步骤

(2)会根据频率分布直方图与茎叶图求出数字特征，并利用数字特征来解决实际问题。

2.过程与方法：能熟识茎叶图与频率分布直方图，通过求相应的数字特征，总结求数字特征的方法步骤，提高学生的操作能力以及强化学生的应用意识，注重学生识图读表和处理数据的能力

3.情感、态度与价值观：培养学生运用模式化的方法策略独立去解题的能力，营造和谐的课堂学习氛围，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学学科核心素养

四、教学重点：

样本的数字特征的求解以及实际应用

教学难点：

数字特征求解步骤在具体解题中的应用

五、教学方法：师生合作探究，讲练结合，探究启发

六、教学过程：实例引入：

类型一：茎叶图求样本的数字特征以及实际应用

1.(2018年广州二模18题)A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．

(1)根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)

(2)若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：

每件中药材的质量n（单位：克）

购买价格（单位：元/件）

①估计A药店所购买的100件中药材的总质量；

②若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．

设计意图：展示学生的解题过程，找出学生答题情况的问题所在

n15

15≤n≤20

n20

50

a

100

【变式1】【背景变了，所求问题变为平均数与方差的实际应用】

2.为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，高三4班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示（把频率当作概率）．

(1)求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；

(2)现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？

【方法技巧归纳】(1)由茎叶图可以清晰地看到原始数据和分布情况，且茎叶图常与样本的数字特征问题综合应用，这类问题首先要根据茎叶图获取原始数据，再利用样本的数字特征公式去求解．(2)选择性决策问题应该选择哪种数字特征：①众数体现了样本数据的最大集中点，中位数体现了样本数据的中间值，两个都无法客观地反映总体特征；②平均数和每一个数据都有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低；③方差（标准差）描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差（标准差）越大，数据越分散（波动），方差（标准差）越小，数据越集中（稳定）．所以一般先比较平均数，若平均数相同，再比较方差（标准差）

类型二：频率分布直方图估计数字特征

3.(2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

【变式1】【背景变了，同时变计算各组频数与频率为和分层抽样结合】

4.每年的4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间t

(单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图. (1)求a的值；(2)试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；

(3)若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为30,40，

60,70的两组中各抽取多少人？

【变式2】【背景变了，所求问题变为中位数的实际转化应用】

5.（2016年高考四川卷）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值；

0.520.40a0.160.120.080.0400.511.522.533.544.5月均用水量（吨）频率组距(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.

【方法技巧归纳】(1)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的，由此可以估计中位数的值；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．(2)注意直方图的纵坐标：各个小长方形的面积是相应各组的频率（小长方形面积=（频率／组距）*组距=频率），各个小长方形的面积总和为“1”，这个是求解某一组的纵坐标的关键所在；(3)由于频率分布直方图只能算出分组的频率，所以只能够估计出数字特征的数据，且频率分布直方图常与分层抽样等问题综合应用，这类问题首先要根据频率分布直方图获取分组频率，再利用分组频率的比例去求解．

变式训练：6.在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6位选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如下图所示的茎叶图．为了增加结果的神秘感，主持人暂时没有公布甲、乙两班最后一位选手的成绩．

(1)求乙班总分超过甲班的概率；

(2)主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分．请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况．

7.【2014年全国新课标Ⅰ卷】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

质量指标值分组

频数

[75，85) 6 [85，95) 26 [95，105) 38 [105，115) 22 [115，125) 8 (1)在答题卡上做出这些数据的频率分布直方图；

(2)计算这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

课堂小结：①找：找出关键数据和语言核心；

②代：把数据代入公式，严格执行套用解题模板，；

③算：仔细计算，避免错漏；

④写：组织语言，规范答题格式

注意事项：①茎叶图清晰地展示了原始数据，所以数字特征的求解比较直观，但是数据比较多，往往计算过程容易出现错漏，须小心谨慎计算；

②(1)频率分布直方图只能够准确算出分组的频率，故数据的数字特征只能够估计；(2)注意频率分布直方图的纵坐标，它使得各组的小长方形变成各组的频率，总的面积之和为“1”，适用于求解某一组的纵坐标（记得求完频率后记得除以组距）；(3)各个数字特征的求解有各自的公式进行套用；若分组较多，公式会比较繁琐，但有规律可循，可根据规律检查，避免出现错漏；

决策问题：选择性决策问题大多选择平均数和方差（标准差）这两个数字特征作为理论依据：一般先比较平均数，若平均数相同，再比较方差（标准差）【方差（标准差）越小越稳定】