本章小结精品学案

习题课：圆周运动

[学习目标]

1.熟练掌握圆周运动各物理量的关系.2.掌握圆周运动的分析方法.3.会分析轻绳、轻杆模型在竖直面内做圆周运动的临界问题.

一、描述圆周运动各物理量的关系

例1

如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径在逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是(

)

图1 A.周期

C.角速度

B.线速度

D.向心加速度

解析

轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B错误；根据v＝rω知，线速度大小不变，转动半2π径减小，故角速度增大，故C错误；根据T＝，角速度增大，故周期减小，故A正确；ωv2根据a＝，转动半径减小，故向心加速度增大，故D错误. r答案

A [总结提升]

2π描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，它们之间的关系为：ω＝＝2πn，T2πv＝rω＝r＝2πrn，这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，T此时关系式中各量是瞬时对应的. 二、分析圆周运动问题的基本方法

例2

如图2所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？

图2 解析

对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2

对球1有：F1－F2＝mlω2

由以上两式得：F1＝3mlω2

F13故＝. F22答案

3∶2 [总结提升]

分析圆周运动问题的基本方法

1.首先要明确物体做圆周运动的轨道平面、圆心和半径. 2.其次，准确受力分析，弄清向心力的来源，不能漏力或添力(向心力). 3.然后，由牛顿第二定律F＝ma列方程，其中F是指向圆心方向的合外力，a是指向心加速v2度，即用或ω2r或用周期T来表示的形式. r三、竖直面内的“绳杆模型”问题

例3

一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)

图3 (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(小数点后保留两位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力. 解析

(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小. 2v0此时有：mg＝m，

l则所求的最小速率为：v0＝gl≈2.24 m/s.

v2(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为N，则由牛顿第二定律有：N＋mg＝m，

l代入数据可得：N＝4 N. 由牛顿第三定律得，水对桶底的压力：N′＝4 N. 答案

(1)2.24 m/s

(2)4 N 例4

如图4所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则(

)

图4 A.v的最小值为gL

B.v若增大，球所需的向心力也增大

C.当v由gL逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小

D.当v由gL逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大

v2解析

由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝m，vr若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝gL时，圆管受力为零，故v由gL逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由gL逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确.故选B、D. 答案

BD [总结提升]

(1)轻绳模型(如图5所示)

图5 ①绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力). v2②在最高点的动力学方程T＋mg＝m. rv2③在最高点的临界条件T＝0，此时mg＝m，则v＝gr. rv＝gr时，拉力或压力为零.

v>gr时，小球受向下的拉力或压力. v

图6 ①杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力. ②在最高点的动力学方程

v2当v＞gr时，N＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大. rv2当v＝gr时，mg＝m，杆对球无作用力. rv2当v＜gr时，mg－N＝m，杆对球有向上的支持力. r当v＝0时，mg＝N，球恰好到达最高点. ③杆类的临界速度为v临＝0.

1.节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图7所示，不考虑空气阻力和绳的质量(选手可看为质点)，下列说法正确的是(

)

图7 A.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力等于mg

B.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于mg

C.选手摆动到最低点时所受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力

D.选手摆动到最低点的运动过程为匀变速曲线运动

答案

B 解析

由于选手摆动到最低点时，绳子拉力和选手自身重力的合力提供选手做圆周运动的向

心力，有T－mg＝F向，T＝mg＋F向>mg，B正确. 2.长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图8所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10 m/s2).

图8 (1)A的速率为1 m/s；

(2)A的速率为4 m/s. 答案

(1)16 N

(2)44 N 解析

以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，

v2则有mg＋F＝m. Lv2121(1)代入数据v1＝1 m/s，可得F＝m(－g)＝2×(－10) N＝－16 N，即A受到杆的支持力L0.5为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N. v2422(2)代入数据v2＝4 m/s，可得F′＝m(－g)＝2×(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为L0.544 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N. 3.如图9所示，一质量为0.5 kg的小球，用0.4 m长的细线拴住，在竖直平面内做圆周运动，g取10 m/s2，求：

图9 (1)当小球在圆周最高点速度为4 m/s时，细线的拉力是多少？

(2)当小球在圆周最低点速度为6 m/s时，细线的拉力是多少？

(3)若细线能承受的最大拉力为130 N，则小球运动到最低点时速度最大是多少？

答案

(1)15 N

(2)50 N

(3)10 m/s 解析

(1)设小球在最高点时细线的拉力为T1，则

v21T1＋mg＝m

lv21得：T1＝m－mg＝15 N l

(2)设小球在最低点时细线的拉力为T2，

v22则有：T2－mg＝m，

lv22得：T2＝mg＋m＝50 N lv23(3)由T3－mg＝m，T3＝130 N，可得：v3＝10 m/s. l

一、选择题(1～7为单项选择题，8～9为多项选择题) 1.如图1所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑.图中有A、B、C三点，这三点所在处的半径rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系是(

)

图1 A.aA＝aB＝aC

C.aC

答案

C v2解析

两轮通过皮带传动，故A、B两点的线速度大小相等，由a＝知，aA

) B.aC>aA>aB

D.aC＝aB>aA

图2 A.小球受到重力、弹力和静摩擦力

B.小球受到重力、弹力和向心力

C.小球向心力的方向沿着水平方向指向圆心

D.小球受到重力、弹力的合力是恒力

答案

C 解析

小球受重力、弹力，这两个力的合力提供向心力，向心力的方向始终沿着水平方向指向圆心，所以合力不是恒力.故C正确，A、B、D错误. 3.如图3所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方

向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(

)

图3 A.当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c

B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

C.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a

D.当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b

答案

A 解析

转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，D项错误. 4.如图4所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连.当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动.当转盘转速增大到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M(

)

图4 A.所受向心力变为原来的4倍

1B.线速度变为原来的

21C.转动半径r变为原来的

21D.角速度变为原来的

2答案

B 解析

转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m的重力，所以向心力不变，故A错误.转速增到原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据11F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的.根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、42

D错误. 5.如图5所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(

)

图5 A.0

B.gR

C.2gR

D.3gR

答案

C v2解析

由题意知N＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝2gR，C正确. R6.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)(

)

图6 A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案

B 解析

水流星在最高点的临界速度v＝gL＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出.故选B. 7.如图7所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动.球转到最高点A时，线速度的大小为gl，此时(

) 2

图7

1A.杆受到mg的拉力

23C.杆受到mg的拉力

2答案

B 1B.杆受到mg的压力

23D.杆受到mg的压力

2解析

以小球为研究对象，小球受重力和沿杆方向杆的弹力，设小球所受弹力方向竖直向下，mv2则N＋mg＝，将v＝lgl1代入上式得N＝－mg，即小球在A点受杆的弹力方向竖直向2211上，大小为mg，由牛顿第三定律知杆受到mg的压力. 228.如图8所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)(

)

图8 A.0.04 m

C.0.16 m

答案

BCD 解析

当M有远离轴心运动的趋势时，有：

mg＋fmax＝Mω2rmax

当M有靠近轴心运动的趋势时，有：

mg－fmax＝Mω2rmin

解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m 即0.08 m≤r≤0.32 m. 9.如图9所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为va＝4 m/s，通过轨道最高点b的速度为vb＝2 m/s，取g＝10 m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是(

) B.0.08 m D.0.32 m

图9 A.在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N B.在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 N C.在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N D.在b处为压力，方向竖直向下，大小为6 N 答案

AD 解析

小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力大小.在a点设细杆对球的作用力mv2mv23×42aa为Fa，则有Fa－mg＝，所以Fa＝mg＋＝(30＋) N＝126 N，故小球对细杆的拉rr0.5力为126 N，方向竖直向下，A正确，B错误.vb

N＝6 N，rr0.5故小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，大小为6 N，C错误，D正确. 二、非选择题

10.质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10 m/s2)求：

(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？

(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力. 答案

(1)3 m/s

(2)6 N，方向竖直向上

1.5 N，方向竖直向下

v20解析

(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，

R解得v0＝3 m/s. v21(2)v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m，

R由牛顿第三定律得：F1′＝F1，

解得F1′＝6 N，方向竖直向上. v22v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝m，

R由牛顿第三定律得：F2′＝F2，

解得：F2′＝1.5 N，方向竖直向下. 11.如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其重力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图10 (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

(2)当角速度为

答案

(1) 3μg时，绳子对物体拉力的大小. 2rμg1

(2)μmg

r2解析

(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω20r，得ω0＝

(2)当ω＝

μg. r3μg时，ω＞ω0，所以绳子的拉力T和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，T2r＋μmg＝mω2r

3μg1即T＋μmg＝m··r，得T＝μmg. 2r2