2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案教学设计导入设计

人教版必修四

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示

一、选择题

→1．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为(

) A．(6,9)

B．(5,4) D．(9,24) C．(7,14)

[答案]

B →→[解析]

OA＝(－1，－5).AB＝3a＝(6,9)，

→→→故OB＝OA＋AB＝(5,4)，

故点B坐标为(5,4)．

→→→2．原点O在正六边形ABCDEF的中心，OA＝(－1，－3)，OB＝(1，－3)，则OC等于(

) A．(2,0)

B．(－2,0) C．(0，－23)

D．(0，3) [答案]

A [解析]

∵正六边形中，OABC为平行四边形，

→→→∴OB＝OA＋OC，

→→→∴OC＝OB－OA＝(2,0)．

→→→1→→3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于(

) 32A.

3

1B.

32D．－

31C．－

3[答案]

A →→[解析]

∵AD＝2DB，

→→→→∴CD－CA＝2(CB－CD)，

→1→2→∴CD＝CA＋CB. 332→1→→又∵CD＝CA＋λCB，∴λ＝. 334．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为(

) A．2a－b

B．－a＋2b

1

C．a－2b

[答案]

C D．a＋2b

[解析]

设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，

x－y＝3x＝1∴，解之得，

－x＋2y＝－5y＝－2

∴c＝a－2b，故选C. 5.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(

) A．(1，－1)

C．(－4,6)

[答案]

D [解析]

设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．

又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，

即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，

∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．

二、填空题

6．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；

→→→②AB＋BC＝CA；

→→→③OA＋OC＝OB；

→→→④AC＝OB－2OA. 其中所有正确命题的序号为________．

[答案]

①③④

→→[解析]

①∵OC＝(－2,1)，BA＝(2，－1)，

→→∴OC＝－(2，－1)＝－BA，

又OC，BA不共线，∴OC∥BA，∴①正确；

→→→→②∵AB＋BC＝AC≠CA，∴②错误；

→→→③∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；

→→→④∵AC＝(－4,0)，OB－2OA＝(0,2)－2(2,1) ＝(－4,0)，∴④正确．

B．(－1,1) D．(4，－6) 2

→→7．已知点A(7,1)，B(1,4)，若直线y＝ax与线段AB交于点C，且AC＝2CB，则实数a＝________. [答案]

1 →→[解析]

设C(x0，ax0)，则AC＝(x0－7，ax0－1)，CB＝(1－x0,4－ax0)，

x0－7＝2(1－x0)x0＝3→→∵AC＝2CB，∴，解之得. ax0－1＝2(4－ax0)a＝1

三、解答题

8．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，→MN与AD交于点F，求DF. [解析]

因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3) →所以AB＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．

→1→→又因为D是BC的中点，有AD＝(AB＋AC)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC2的中点，

所以F为AD的中点，

1→→1→故有DF＝DA＝－AD＝(1.75,2)．

22→1→→[点评]

注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则OM＝(OA＋OB)．

29．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段→→MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

[解析]

设M(x0，y0)，N(x，y)，

→→由MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，

x0＝－2x＋3所以，又∵M(x0，y0)在圆C上，

y＝－2y＋30

把x0、y0代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，

整理得x2＋y2＝1，

所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.

3