探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第二课时教学实录

正切函数的性质与图象教案

钟志平

一、教材分析

《正切函数的性质与图象》选自人教版《必修4》第1.4.3节，内容包含正切函数的性质，和正切函数图象的作法及其图象特征。

1.教材简介

本节课是学习了任意角的三角函数，三角函数的诱导公式后，继研究了正余弦函数的图象和性质后一节比较重要的课。通过研究推导正切函数的性质，和利用正切函数线画正切函数的图象，理解正切函数在运用上的数学意义。

2.教材的地位和作用

本节课是整个三角函数知识的基础，对于更进一步的研究三角函数的图象与性质有重要意义，同时也为后面图象的变换研究打下基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想方法在数学学习中有重要意义。

二、

教学目标

根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能目标：

①掌握正切函数的性质，并能画出正切函数的图象；

②会运用正切函数的性质与图象解决数学问题。

2、过程与方法目标：牢固掌握正切函数的性质，并能灵活运用图象解题。培养学生观察分析能力，提高学生逻辑说理能力，训练学生动手操作能力，体会数形结合等数学思想。 3、情感、态度、价值观目标：通过本节的学习，会灵活运用正切函数的性质与图象解决问题，体会数学的运用价值，感受数学的完整性，提高学习数学的兴趣。

三、

教学重点和难点

教学重点：正切函数的图象及主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域、对称性）；深化研究函数性质的思想方法。

教学难点：利用单位圆上的正切线作出正切函数的图象；正切函数性质的灵活应用。

四、教法学法分析

通过学生熟悉的知识出发，以激发学生的求知欲，引起学生的思考，让学生在尝试探索中发现问题，并在过程中获得自信心和成功感。学生通过对问题的解决，获得相关知识，进而在强调知识的严谨性的同时注重知识的形成过程。

五、教学过程

(一）

情境引入

我们在之前学习了任意角的三角函数，三角函数线和诱导公式；了解了正余弦函数的图象和性质。今天我们一起来研究正切函数的图象与性质。

1

设计意图：由学生学习过的知识引入，同时抛出我们将要研究的问题，引起学生思考，激发学生的学习兴趣。同时，学生可以类比研究正切函数的性质与图象。

(二)形成新知

1.

正切函数ytanx的性质

问题一：正切函数ytanx的定义域是什么？

问题二：正切函数ytanx的奇偶性如何？

问题三：正切函数ytanx的周期性如何？

问题四：正切函数ytanx的单调性如何？

问题五：正切函数ytanx的值域如何？有无最值？

设计意图：通过层层递进的设问，和学生一起研究正切函数的性质。同时，我们在研究中我们借助了正切线及诱导公式。在此环节，学生不仅理解了正切函数的性质，而且感受了其中的数学思想，为我们后面研究正切函数的图象奠定了基础。

2.正切函数的图象

类比正余弦函数图象的作法，我们可利用正切线作出正切函数的图象。

此外，由正切函数的定义域和周期性，

我们首先作出正切函数在(①作直角坐标系；

②等分；

③描点；

④连线. 进一步地，将正切函数在(,)上的图象。

22,)上的图象向22左、向右扩展，就可以得到正切函数在定义域内的图象，称之为正切曲线。

注：

①渐近线 ②对称性

2

我们在研究正弦函数、余弦函数的时候，利用“五点法”可以简便的作出其简图，那能否类似的作出正切函数ytanx,x(

设计意图：通过这部分的研究，学生动手操作，对如何作正切函数的图象有了全面的认识；同时，对正切曲线的解读研究，学生对图象特征，及图象与性质的统一认识能更加清晰。在研究过程中，注重数形结合数学思想的渗透，培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力。

（三）例题精讲 例1.求下列函数的定义域. ,)的简图？怎么作？

22(1)y

1 (2)ylg(3tanx)

1+tanx归纳总结：求正切函数的定义域时需要注意的问题。

例2 .设函数f(x)tan(2x3). (1)求函数f(x)的最小正周期,对称中心；

(2)求函数f(x)的单调区间。

变式：求函数f(x)tan(

归纳总结：对于正切型函数yAtan(x)(A0)的性质研究.

3

1x)的单调区间。

42

例3.(1)比较大小. ①tan32o______tan35o ②tan(148o)______tan215o

③tan1828______tan()

59(2)将tan1,tan2,tan3按大小排列为_____________________.(用“<”连接)

归纳总结：运用正切函数的单调性比较大小的步骤.

设计意图：

通过三道例题让学生能正确运用正切函数的性质，并在解题时有意识的结合正切曲线进行思考。同时要让学生在解题中，进行总结归纳，培养学生分析问题，解决问题的能力。

（四）

课堂小结

一.课堂知识总结：

1.正切函数的图象

2.正切函数ytanx的性质

二.

课堂数学思想总结

设计意图：课堂小结，顾名思义，就是对本节知识点进行梳理、整合，对重点知识或难点进行强调。课堂小结让学生思考，发挥他们的主观能动性，使课堂小结既具有整合梳理的功能，又有调控与矫正的功能。

思考题：判断ylg六、

板书设计

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主板书【一直保留】

1.4.3 正切函数的性质与图象

一．性质

tanx1的奇偶性，并证明。

tanx1辅板书：例题等

1.定义域 2.奇偶性

3.周期性 4.单调性

5.值域

二．图象

1.渐近线 2.对称中心

3.两线三点法（简图）

4