探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质课时教学实录

科目

课题

数学

年级

高一

班级

时间

日

年

月

第

课时

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

教学目标

1.理解周期函数、最小正周期的定义；

2.会求正、余弦函数的最小正周期、定义域、最值。

重点

函数的周期性、最小正周期的定义。

难点

如何推导函数的周期、确定最值。

教学过程：

一、引入：

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

3自变量23





0



2

x

2222函数值0

0

1

0

0

0

1

1

1

sinx

y

–

1

x



5





5

2

2



O

22

1–

正弦函数f(x)sinx性质如下：

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解：

1．

定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R 2．

值域：

1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1

（有界性）

再看正弦函数线（图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1] 2对于y=sinx

当且仅当x=2k+当且仅当时x=2k-

kZ时

ymax=1 2

kZ时

ymin=-1 2对于y=cosx 当且仅当x=2k

kZ时

ymax=1 当且仅当x=2k+

kZ时

ymin=-1

3．

观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知

当2k

(kZ)时

y=sinx>0 当(2k-1)

(kZ)时

y=sinx<0 当2k-当2k+

(kZ)时

y=cosx>0 223

(kZ)时

y=cosx<0

224．周期函数的定义

T，使得当x取定义域内的每一个值对于函数f(x)，如果存在一个非零常数时，都有．．．．．．．．f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。

【思考】

22（1）对于函数ysinx，xR有sin()sin，能否说是它的周期？

6363（2）正弦函数ysinx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，kZ且k0）

（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ*也是f(x)的周期吗？为什么？

（是，其原因为：f(x)f(xT)f(x2T)f(xkT)）

5．最小正周期的定义

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。

说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；

（2）从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；

（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？

（f(x)c没有最小正周期）

6．例题分析：

例1：直接写出下列函数的定义域、值域：

1

y=1

2 y=2cosx

1sinx1

kZ时函数有意义，值域:[,+∞] 222解：1当x2k-2 x[2k+43, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, 22] 2)求下列函数的最值：

1 y=sin(3x+)-1

2 y=sin2x-4sinx+5

3 y=解：1

当3x+=2k+当3x+43cosx

3cosx2k即

x=

(kZ)时ymax=0 23122k=2k-即x=

(kZ)时ymin=-2 4234

kZ时ymax=10 22 y=(sinx-2)2+1

∴当x=2k-

当x=2k-3 y=-1+

kZ时ymin= 2 21

当x=2k+

kZ时

ymax=2 3cosx1当x=2k

kZ时

ymin=

2练习1

求下列函数的定义域：

1 y=3cosx12cos2x

2 y=lg(2sinx+1)+2cosx1

3 y=cos(sinx)

解：1

∵3cosx-1-2cos2x≥0

∴≤cosx≤1

∴定义域为：[2k-, 2k+]

(kZ) 3312712kx2ksinx66(kZ)

22

1cosx2kx2k2332k6x2k3(kZ)

∴定义域为：(2k,2k](kZ)

63

3

∵cos(sinx)≥0

∴

2k-≤x≤2k+

(kZ) 22

∵-1≤sinx≤1 ∴xR cos1≤y≤1

例2.

求下列函数周期：

（1）y3cosx，xR；

（2）ysin2x，xR；

1（3）y2sin(x)，xR．

26解：（1）∵3cos(x2)3cosx，

∴自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，xR的值才能重复出现，

所以，函数y3cosx，xR的周期是2．

（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

111（3）∵2sin(x2)2sin[(x)]2sin(x)，

262626∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

说明：（1）一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR（其中A,,

为2常数，且A0，0）的周期T；



（2）若0，例如：①y3cos(x)，xR；②ysin(2x)，xR；

1③y2sin(x)，xR．

26

则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T2．

||练习2：求下列函数的周期：

3xx3xx（1）ysin(x)；

（2）ycoscossinsin；

322222xx（3）ysinxcosx；

（4）ycos2sin2；

（5）ycos2x．

222解：（1）T4，∴周期为4；

||23xx3xx3xx（2）ycoscossinsincos()cosx，∴周期为2；

222222（3）ycosxsinx2sin(x)

∴周期为2；

4xx（4）ysin2cos2cosx，∴周期为2；

22111（5）ycos2x(1cos2x)cos2x，∴周期为．

222说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为yAsin(x)的形式，再利用公式2T进行求解。



五、课堂练习：

求下列函数的周期：

xx（1）ysin3x，xR；

（2）ycos，xR；

（3）y3sin，xR；

341（4），xR；（5），xR；（6），xR．

ysin(x10)ycos(2x)3y3sin(x)24

六、小结：

1.定义域、最值的求法；

2.周期函数、最小正周期的定义；

3.yAsin(x)型函数的周期的求法。

七、作业

板书设计

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

1.定义域

2.最值

例1

练习1

3.周期函数

4.最小正周期

例2

练习2

5.小结

教学后记